中考中存在性问题

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1、中考中存在性问题陕西  张力凡  存在性问题是一种常见的探索性问题,也是中考中命题者用来考查同学们探索能力、猜想能力和归纳能力的常用题型之一,其解法的一般思路是假设存在,然后导出某个结论,如果该结论合理,则说明假设成立,其结论存在;如果该结论不合理,则说明假设错误,所探索的结论不存在.举例如下:  例1 (2006年诸暨市)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.  (1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示△BEF的面积;  (2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同

2、时平分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;  (3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分?若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由.  析解:(1)由已知条件得:梯形周长为24,高为4,面积为28.  过点F作FG⊥BC于G,过点A作AK⊥BC于K,则根据已知可求得:,  ∴;  (2)存在.理由是:  由(1),得.  解得x1=7,x2=5(舍去);  ∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分,此时BE=7;  (3)不存在.理由是:  假设存在,则S△BEF∶SAFECD=1∶2,(BE+BF)∶(AF+A

3、D+CE+DC)=1∶2,  则有.  整理,得:3x2-24x+70=0.  因为方程没有实数解,∴不存在这样的实数x.  即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.  例2 (2006年烟台市)如图2,已知抛物线l1:y=x2-4的图象与x轴交于A、C两点.  (1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式;  (2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A、C重合),以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D,求证:点D在l2上;  (3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时,平行四边形ABCD的面积

4、是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由.  析解:(1)设l2的解析式为y=a(x-h)2+k,  ∵l1与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,  ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4).  ∴y=ax2+4.∴0=4a+4,得a=-1.  ∴l2的解析式为y=-x2+4;  (2)设B(x1,y1),∵点B在l1上,∴B(x1,x12-4),  ∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称,  ∴B、D关于O对称,∴D(-x1,-x12+4).

5、  将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2:y=-x2+4,得  左边=右边,∴点D在l2上;  (3)设平行四边形ABCD的面积为S,则  ,  ①当点B在x轴上方时,y1>0,  ∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数,且S随y1的增大而增大.  ∴S既无最大值也无最小值;  ②当点B在x轴下方时,-4≤y1<0,  ∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数,且S随y1的增大而减小.  ∴当y1=-4时,S有最大值16,但没有最小值,此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.  ∴AC⊥BD.  ∴平行四边形ABCD是菱形,此时S最大=16.我们先来看下面一

6、个作图题.  如图1,已知线段AB,在过A点的直线a上求作点P,使△ABP为等腰三角形.    分析由于腰和底不确定,所以要按等腰三角形的边分情况讨论;当AB是腰时,哪一个角是顶角不确定,所以再按顶角进一步分类讨论.    请读者自行完成,满足条件的点有4个.  在近年来的中考题中,涉及等腰三角形的存在性问题很多,其类型及思考方法多为上述作图题(已知一边求作等腰三角形).请看下面两例.  例1(07年龙岩市)如图2,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.  (1)求抛物线的对称轴;  (2)写出A,B,C

7、三点的坐标并求抛物线的解析式;  (3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.  解(1)抛物线的对称轴  .  (2)由C(0,4)及得B(5,4),  又AC=BC=5,OC=4,    ∴OA=3.  ∴A(-3,0).  把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中,  解得,  ∴.  (3)存在符合条件的点P共有3个,以下分三类情形探索.  设抛物线对称轴与x轴交于N,与CB交于M.过点B作BQ⊥x轴于

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