4、-1a-1===eNaj-ai2ilJ-}-2^-'2〜，-12°^'^-1只要HieaT;同理，只要as-「as-w”..，^•-1-^-1aj-2^ai-2所以，只要只要=m-,eAf.而-叫屮_,—laH-12^-'-1因A.八所以卜/〉卜Z•-12./•-z•-1.于是，有“卜HI•和aH_x
5、“卜卜丨•故有a
6、j-i-Ias-i~as-i-l-结论得证.3.（MOSP,1997）证明数列1，11，111，…屮包含一个无限子列，其屮任意两项是互素的.法一：设X,,是该数列的第A2项，则x,,+1—10x,,=l，从而（x,,+l，么）=1.为了证明存在一个无限子列，其中任意两项是互素，只要证明无论这一子列已经包含了多少项，总可以再添加一项.为此，注意到xjxw/,（me/V*）.令p为己包含在子列屮的所有项的下标之积，则子列中的每一项都整除因此，可以再将&+
7、添加到子列中.结论成立.10"-1法二：设'是该数列的第/7项，则'=2—.因w〃9（、io,w-i10"一1、（10/,
8、,-1,10/,-1）10（，）-1（么，弋）=（］-，］-）=9二一9-，所以，当（m，n）=l时，（xtlt,xn）=l.因此，子列｛'
9、/?为素数｝满足要求.4.证明存在无限多个正整数n，使得rt
10、2w+2且n-l
11、r+l.证：首先，有2
12、22+2且（2-1）
13、22+1.由n—1
14、2"+1知，n为偶数，且存在奇数AT，使得2"+1=（/i—1）々.故2n-i+1
15、22^i+1=2（,f-i）A+1>上式两边同乘以2,可得2"+2
16、22'i+2+2.又由打知，4
17、/?,且存在奇数reAT，使得2"+2=咐.故（2/,+2-l）=2n+l
18、2,,/+l=22W+2+l.于
19、是，当n
20、2"+2且w—1
21、2”+1时，必有2w+2
22、2r+2+2且2”+l
23、2r+2+l.由此可知，存在无限多个正整数n，使得zi
24、2"+2且n-112"+1.5.（德国，2003）证明：对于任意6个连续正整数，存在一个素数，使得该素数能且只能整除这6个数之一.证：设这6个连续正整数为《，以+1，zt+2,n+3,zt+4,n+5.若5J"，则"+1，打+2,"+3,/t+4,"+5中只有一个能被5整除，结论成立.若5
25、打，贝iJ/7+1，h+2,/7+3,n+4不能被5整除，且其中有两个（相邻奇数）不能被2整除，这两个（相邻奇数）中至少有一个不能被3整除.B卩72+1，
26、77+2,72+3,zt+4屮有一个数不能被2,3,5整除.因此，该数有一个大于5的素因数p.因p〉5，p不能同时整除n,Z2+1，7?+2,72+3,72+4,Z2+5中的两个数，所以，素数p能且只能整除77,/?+1，打+2,/?+3,打+4,+5中的一个数.6.设是正整数，（a，b）=i.证明在等差数列｛a+处
27、A:=0，1，2，“］中必有无穷多个数与m互素.证：因（“+（々+m）Z?，m）=（a+kb，m）,keN'所以要证在等差数列沁+幼
28、Z:=0，l,2,…｝中必有无穷多个数与m互素，只要证：存在…，m
