第二讲数论中的存在性问题

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1、初等数论（三）--数论中的存在性问题。重要工具：欧拉函数--介于和之间与互质的自然数个数完全剩余系—设为一个自然数，是个自然数。如果这个自然数中的任何两个关于不同余，则称它们是一个完全剩余系。缩系---在个剩余类中各取一个元素，它们形成一个模的缩系欧拉定理。设是一个自然数，。证明：。这就是著名的欧拉定理。如果取为质数，那么就成为了费马小定理。其中是欧拉函数，计算中与互质的元素个数中国剩余定理设是个两两互质的正整数，。是任意个自然数。则同余式方程有唯一解，其中它的通解是注意：从解的构造上看，关键在于求而且具有双重意义：第一,在模运算下就是1：第二，每一项中含有因子，使得，因此，在模运算下，这个

2、通解公式具有“识别”功能，即，当你要选择第个方程时，例1.证明：有无穷多个正奇数，使得不是质数。例2.证明：有无穷多个自然数使得。例3.设是一个质数，证明数列中有无穷多个项被整除。例4.证明：数列中有无穷多个合数。例5.证明：对于任意给定正整数，总有个连续自然数，其中每一个都有大于1的平方因子。例6.证明：对于任意给定正整数，总有个连续自然数，其中每一个都不是幂数。解答：我们证明：存在个连续自然数，其中每一个都至少有一个质因子，在这个数的标准例7．证明：存在无穷多个正整数使得有一个大于的因子。例8.设是正整数集的无限子集，是一个给定的整数。已知：对于任意一个不整除的质数，集合中总存在无穷多个

3、元素不被整除。证明：对于任意整数集合中均存在有限多个互不相同的元素，其和满足例9.证明：对于均有无穷多个正整数使得中恰好有个可以表为三个自然数的立方和。例10.证明：对于不小于的正整数，数可以表示成为5个整数的立方和，并且每一个整数的绝对值都小于。例11．方程是否有解？例12.证明：存在无穷多个质数使得方程有正整数解。例13.设为一个奇质数。证明：从任何个整数中可以找到个数，它们的和是的倍数。例14.我们称形如的正整数为幂数，这里，且。问：是否存在一个由1000个正整数组成的集合，使得的任意一个非空子集合的元素之和都是幂数？例15.求所有质数序列满足是一个整数。例16.证明：不定方程唯一的正

4、整数解为例17.设为互质的自然数，为任何一个正整数。证明：等差数列中一定有无穷多个数与互质。例18.设为互质的自然数。证明：等差数列中一定有一个无穷子列，其中任何两个数都互质。例19.证明：当正整数充分大时，数列中有一个数，它的不同的质因数的个数不小于3.