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1、泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法第34卷第2期2006年3月河海大学(自然科学版)JournalofHohaiUniversity(Natural~iences)Vo1.34No.2Mar.20(】6泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法曹卫东,陆昌根,钱建华(河海大学环境科学与工程学院,江苏南京210098)摘要:采用3阶精度中心差分格式对Dirichlet边界条件下的二维泊松方程进行离散,近边界网格点处采用2阶精度差分格式进行离散,利用超松弛迭代进行矩阵求解.数值计算结果表明,该有限差
2、分方法具有收敛速度快,精度高的特点,可推广应用于非等间距网格下其他类型偏微分方程的数值求解.关键词:泊松方程;非等间距;差分格式中图分类号:035文献标识码:A文章编号:1000—1980(2o06)02—0123—04泊松方程是一类应用非常广泛的椭圆型偏微分方程,在流体动力学,渗流理论,电磁学,传热学,结构力学等学科的基础理论研究中占有莺要的地位.由于只有少量的泊松方程有解析解,因此寻求该类方程高精度的数值解成为理论研究的重要内容_l_2J.文献[1—3]介绍的二维泊松方程的主要求解方法有:(
3、a)等间距网格5点或9点中心差分方法,该算法简单,但在网格较粗时精度不高;(b)9点紧致格式,可达到4阶或6阶精度,但要求同一坐标方向网格等距或所有坐标方向网格等距.在等间距条件下,为了达到理想的计算精度并取得指定点的函数值,必须将网格细分,这将导致计算量大大增加.在流体力学边界层理论与湍流理论的研究中,为了确定近壁面的高精度流动特性,在微小的边界层厚度内往往布置大量的网格点,且网格间距变化剧烈l45J,只有在流场的中心区域网格间距才可适当放宽,因此建立包括压力泊松方程在内的变问距网格高精度离散
4、方法非常必要[.Garnet等E7]采用非等间距网格和紧致格式,成功地对Navier,Stokes方程进行了数值计算.本文应用Garnet的方法对泊松方程进行离散,并通过数值算例验证了本文格式的精度.1非等间距网格的二阶微分差分格式在矩形区域D(0<<a,0<Y<b)内考虑泊松问题的Difichlet边值问题:{+(x,y)∈EDYgYYaD㈩喜【(,)=(,)(,)∈一如图1所示,方向网格编号为0<i<m,每一点坐标值为(i),Y方向网格编号为0</&
5、lt;,每一点坐标值为y(j).方向网格间距:hx(i)=(i)一(i一1)Y力向网格间距:hy()=Y(j)一y(J一1),l一lfl(f0也)●u(i1)Iu(i一2./)u(i-lJ]u(i,)u(i-2u(i+2J]u(i√一l】Iu(i,J-ZOjm-ljhx(i)图l网格点布置Fig.1Layoutofgdds或Y方向的空间步长可以任意加密和变化.图中(i,)表示编号为(i,)网格点的待求函数值.=1,i=m—J,J=1√=一1为近边界点;=0,i=m,=0,=n为边界点,其余为内点
6、.1)ifichlet边值问题中边界点函数值已知.1.1泊松方程在内点的离散若方向网格编号为2≤i≤m一2.令满足收稿日期:2005一o62I基金项目:幽镓亡1然科:蛙食资助项l】(10272040)作者简介:曹i尔(1972一),,汀IJj:通州人,肋麒!研究员,坝十,{:馨从事流体I程的研充河海大学(自然科学版)第34卷"=越"(i一2,)+Ai—l"(i一1,)+Aiu(i,)+A…"(i+1,)+Ai+2u(i+2,)(2)式中一2,,,…,f+2与i点附近的网格间距(i—1),(),(
7、+1),(+2)有关.将式(2)中的"(i一2,),"(i一1,),"(i+1,),"(i+2,)在i点作方向Tay1.r展开,比较同阶导数项前的系数可得如下关系式:Ai一2+Ai—I+Ai+Af+l+Af+20一(hxll+hxi)Ai一2一hxiAi—l+hx+lAl+l+(hx+l+hx十2)f+2=0(hxf—l+)f2+—l+hx+l+(hx+l+hx+2)+2:2(3)一(hxi—l+hxi)A2一hxi3A—l+hxi+13A+l+(hxl+l+hx+2)3Af+2=0(hxi—I
8、+hxi)4Af一2+hxi4A—l+hxi+14A+l+(hx+1+hx+2)4A+2=0若系数Ai一2,,f,+l,+2满足式(3),分析式(2)两端Tayl.r展开式余项的系数可知,"具有3阶精度.若Y方向网格编号为2≤≤n～2,同样令U)T满足Uyy=一2"(i,一2)+一l"(i,一1)+"(i,)++l"(i,+1)+曰+2"(i,+2)(4)2,—l,,+一,+2仅仅与-7点的网格间距hy(j一1),by(j),hy(+1),hy(j+2)有关.将式(4)中的"(i,一2),"(i
