利用有限差分和matlab矩阵运算直接求解二维泊松方程

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1、第32卷第4期红外技术Vb1．32NO．42010年4月InfraredTechnologyApr．2010<材料与器件>利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程王忆锋，唐利斌(昆明物理研究所，云南昆明650223)摘要：根据有限差分法原理，将求解范围用等间距网格划分为一系列离散节点后，二维泊松方程可转化为用一个矩阵方程表示的关于各未知节点的多元线性方程组。利用MATLAB提供的矩阵左除命令，即可得到各未知节点的函数近似值。该方法概念简单，使用方便，不需要花费较多精力编程即可以求解大型线性方程组。关键词：半导体；泊松方程；有限差分法；MATLAB中图分类号：TN301文献标识码

2、：A文章编号：1001—8891(2010)04—0213—04DirectSolutionofTwo-dimensionalPoissonEquationwithFiniteDiferenceandMATLABMatrixComputationWANGYi—feng，TANGLi—bin(KunmingInstituteofPhysics,Kunming650223，China)Abstract：Basedonfinitedifferenceprinciples，aftersolutionregionisdividedintoaseriesofdiscretenodeswithaneven

3、lyspacedinterva1．thetwo—dimensionalPoissonequationcanbeconvertedintomulti—elementlinearequationsaboutunknownnodeswhichCanbeexpressedinamatrixequation．TheapproximationofeachunknownnodalfunctioncanbeobtainedwithmatriXleftdivisioncommandinMATLAB．Itissimpleinconcept，convenientinoperationandcanbeusedtos

4、olvelargelinearequationswithoutmoreefortsinprogramming．Keywords：semiconductor，Poissonequation，finitediferencemethod，MATLAB摹和半导体器件模拟中的静电场问题可归结为在给V一一Q／(COer)(1)定电荷分布和边界条件下求解泊松方程⋯。和薛定谔式(1)称为电势的泊松方程，式中Q为电荷量，方程类似L2J，作为半导体中常用的基本控制方程之一，Co为真空介电常数，为相对介电常数，另外：泊松方程、尤其是二维以上的泊松方程一般没有解析V=解，需要根据所用算法编写程序做数值计算。差分法导

5、+熹+萼c2是常用数值解法之一。本文介绍了一种利用有限差分为拉普拉斯算子。和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程的方法，二维泊松方程可以写为：即将求解区问离散为网格化的节点，通过差分将泊松方程转化为以矩阵方程表示的代数方程组，调用一条+。a“)(3)v矩阵左除命令，即可求出其近似数值解。考虑如图1所示的边值问题。以h为步长将求解区域等间距划分为NXN个正方形网格，计有(Ⅳ+1)1二维泊松方程在正方形网格节点上的有限×(Ⅳ+1)个节点，其中待求未知节点(Ⅳ一1)×(JV一1)差分个，己知边界节点4N个。在低频时对于介电常数均匀的情况，利用收稿日期：2009．10—21；修订日期：2010-

6、04．10．作者简介：王忆锋(1963一)，男，湖南零陵人，高级工程师，主要研究方向为器件仿真。213第32卷第4期红外技术、，ol_32No．42010年4月InfxaredTechnologyApr．2010．√．“：===(f-11)(f1)(f+l1)九九九九(11)⋯⋯一。__———⋯⋯一-9l1)1-1／40⋯0十一十一-1／41-1／4⋯0(tj+0—⋯⋯-4,(Ⅳ十l+1)IlIG=(9)(4D+++一+一(1q-一⋯一一(Ⅳ+IO⋯0-1／41-1／4l【)l广I▲Yl0⋯0-1／41O,i-l16一一⋯⋯(Ml一1)矿十一矿一矿+一妒一妒l(1，1)6-⋯⋯一一6———＆

7、——_6⋯⋯一一(Ⅳ+1，1)1O···0O0⋯0O-I，1)(I，I)【r+I，1)1101···0OO···0=————图1有限差分的正方形网格节点．Z=4：．‘：‘．‘(10)++●+●+．0●●．0Fig．1Squaregridnodesoffinitediference一一0一⋯0一10⋯0O对函数，)，)做泰勒级数展开，可以写出：～一式(7)中一．的妫一一所有未知节点呜构成的(Ⅳ一1)×I阶矩阵，