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1、泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法第34卷第2期2006年3月河海大学(自然科学版)JournalofHohaiUniversity(Natural~iences)Vo1.34No.2Mar.20(】6泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法曹卫东,陆昌根,钱建华(河海大学环境科学与工程学院,江苏南京210098)摘要:采用3阶精度中心差分格式对Dirichlet边界条件下的二维泊松方程进行离散,近边界网格点处采用2阶精度差分格式进行离散,利用超松弛迭代进行矩阵求解.数值计算结果表明,该有限差分方法具有收敛速度快,精度高的特点,可推广应用于非等间距网格下其他类型偏微分方程的
2、数值求解.关键词:泊松方程;非等间距;差分格式中图分类号:035文献标识码:A文章编号:1000—1980(2o06)02—0123—04泊松方程是一类应用非常广泛的椭圆型偏微分方程,在流体动力学,渗流理论,电磁学,传热学,结构力学等学科的基础理论研究中占有莺要的地位.由于只有少量的泊松方程有解析解,因此寻求该类方程高精度的数值解成为理论研究的重要内容_l_2J.文献[1—3]介绍的二维泊松方程的主要求解方法有:(a)等间距网格5点或9点中心差分方法,该算法简单,但在网格较粗时精度不高;(b)9点紧致格式,可达到4阶或6阶精度,但要求同一坐标方向网格等距或所有坐标方向网格等距
3、.在等间距条件下,为了达到理想的计算精度并取得指定点的函数值,必须将网格细分,这将导致计算量大大增加.在流体力学边界层理论与湍流理论的研究中,为了确定近壁面的高精度流动特性,在微小的边界层厚度内往往布置大量的网格点,且网格间距变化剧烈l45J,只有在流场的中心区域网格间距才可适当放宽,因此建立包括压力泊松方程在内的变问距网格高精度离散方法非常必要[.Garnet等E7]采用非等间距网格和紧致格式,成功地对Navier,Stokes方程进行了数值计算.本文应用Garnet的方法对泊松方程进行离散,并通过数值算例验证了本文格式的精度.1非等间距网格的二阶微分差分格式在矩形区域D(
4、0<<a,0<Y<b)内考虑泊松问题的Difichlet边值问题:{+(x,y)∈EDYgYYaD㈩喜【(,)=(,)(,)∈一如图1所示,方向网格编号为0<i<m,每一点坐标值为(i),Y方向网格编号为0</<,每一点坐标值为y(j).方向网格间距:hx(i)=(i)一(i一1)Y力向网格间距:hy()=Y(j)一y(J一1),l一lfl(f0也)●u(i1)Iu(i一2./)u(i-lJ]u(i,)u(i-2u(i+2J]u(i√一l】Iu(i,J-ZOjm-ljhx(i)图l网格点布置Fig.1Layoutofgdds或Y
5、方向的空间步长可以任意加密和变化.图中(i,)表示编号为(i,)网格点的待求函数值.=1,i=m—J,J=1√=一1为近边界点;=0,i=m,=0,=n为边界点,其余为内点.1)ifichlet边值问题中边界点函数值已知.1.1泊松方程在内点的离散若方向网格编号为2≤i≤m一2.令满足收稿日期:2005一o62I基金项目:幽镓亡1然科:蛙食资助项l】(10272040)作者简介:曹i尔(1972一),,汀IJj:通州人,肋麒!研究员,坝十,{:馨从事流体I程的研充河海大学(自然科学版)第34卷"=越"(i一2,)+Ai—l"(i一1,)+Aiu(i,)+A…"(i+1,)+A
6、i+2u(i+2,)(2)式中一2,,,…,f+2与i点附近的网格间距(i—1),(),(+1),(+2)有关.将式(2)中的"(i一2,),"(i一1,),"(i+1,),"(i+2,)在i点作方向Tay1.r展开,比较同阶导数项前的系数可得如下关系式:Ai一2+Ai—I+Ai+Af+l+Af+20一(hxll+hxi)Ai一2一hxiAi—l+hx+lAl+l+(hx+l+hx十2)f+2=0(hxf—l+)f2+—l+hx+l+(hx+l+hx+2)+2:2(3)一(hxi—l+hxi)A2一hxi3A—l+hxi+13A+l+(hxl+l+hx+2)3Af+2=0(h
7、xi—I+hxi)4Af一2+hxi4A—l+hxi+14A+l+(hx+1+hx+2)4A+2=0若系数Ai一2,,f,+l,+2满足式(3),分析式(2)两端Tayl.r展开式余项的系数可知,"具有3阶精度.若Y方向网格编号为2≤≤n～2,同样令U)T满足Uyy=一2"(i,一2)+一l"(i,一1)+"(i,)++l"(i,+1)+曰+2"(i,+2)(4)2,—l,,+一,+2仅仅与-7点的网格间距hy(j一1),by(j),hy(+1),hy(j+2)有关.将式(4)中的"(i,一2),"(i
