五点差分格式求解泊松方程并行算法的研究

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1、第37卷第1期电子科技大学学报Vol.37No.12008年1月JournalofUniversityofElectronicScienceandTechnologyofChinaJan.2008·物理电子学·五点差分格式求解泊松方程并行算法的研究廖臣，祝大军，刘盛纲(电子科技大学物理电子学院成都610054)【摘要】以二维静电场泊松方程数值求解的串行算法(雅可比迭代、超松弛迭代)为基础，提出了五点差分格式超松弛迭 代(SOR)求解二维静电场泊松方程的并行算法，通过与雅可比迭代(Jacobi)并行算法的时间复杂度、加速比和空间复杂度进行

2、 对比，得出超松弛迭代的并行算法具有更低的时间复杂度、空间复杂度和更高的加速比与效率。通过实验验证，CHIPIC软件的泊松模块宜采用超松弛迭代并行算法。关键词雅可比迭代;并行算法;泊松;超松弛迭代 中图分类号O411.3文献标识码AParallelAlgorithmResearchonSolvingPoissonEquationsBasedon FivePointDifferenceFormatLIAOChen，ZHUDa-jun，LIUSheng-gang(SchoolofPhysicalElectronics,Universityo

3、fElectronicScienceandTechnologyofChinaChengdu610054)AbstractInthispaper,theefficiencyofJacobiiterativeparallelalgorithmforsolving2DPoissonequation isanalyzed,andthenthedesignofsuccessiveoverrelaxation(SOR)iterativeparallelalgorithmispresented.The resultshowsthatSORiterat

4、iveparallelalgorithmshouldbeadoptedindevelopingCHIPICPoissonmoduleby comparingthetimecomplexity,speedup,andspacecomplexityofthetwoalgorithmsintheory.Atlast,theresultis verifiedbynumericalexperiment.KeywordsJacobi;parallelalgorithm;Poisson;SORCHIPIC[1]是我国自行开发的电磁粒子模拟[2]软如图

5、1离散化场域，采用五点差分格式，场域内件，其模拟计算通常花费大量的时间，因此有必要开发其并行版本。作为这一工作的前期实践，本文对其静电场计算模块即泊松模块的并行计算进行了得到其差分格式：⎛∂ϕ⎞ϕ+−2ϕ+ϕ−2=i,j1i,ji,j1⎜∂⎟22⎝⎠xhi,j研究。1二维静电场泊松方程的串行算法[3]⎛∂ϕ⎞ϕ+−2ϕ+ϕ−2=i1,ji,ji1,j⎜∂⎟22⎝⎠yhi,j代入式(1)即得到方程组：为简单明了地说明算法的设计思想，本文采用⎧ϕ+ϕ+ϕ+ϕ−ϕ=40一个最简单求解二维场域内电位的例子。如图1所i+1,ji−1,ji,j+1

6、i,j−1i,j⎪⎪=ϕ100BC⎨边界上示，一个长直接地金属矩形槽，其侧壁与底面电位i,j⎪=均为0，顶盖电位为100。则求解场域内电位ϕ的方ϕ0OAOCAB⎪边界、、上(2)⎩i,j程为泊松方程(退化为拉普拉斯方程)：∂2+∂2=ϕϕ220边界条件为：∂x∂y⎧ϕ⎨ϕ⎩=100边界上BC上=0边界OA、OC、AB上(1)求解差分方程组(2)即可得场域内各点电位值，可以采用直接法或迭代法[4]进行求解，当网格很小、网格数目较大时，采用迭代法为宜。常见的迭代法有雅可比迭代法和超松弛迭代法(超松弛因子ω=1退化为高斯−赛德尔迭代法)。Ja

7、cobi迭代法：ϕn+1=i,j收稿日期：2006−02−15；修回日期：2006−06−20基金项目：国家863高技术计划(2004AA832101)作者简介：廖臣(1982−)，男，博士生，主要从事电磁粒子模拟软件的开发和并行算法方面的研究.82电子科技大学学报第37卷(nnnn)ϕ++ϕ−+ϕ++ϕ−/4；SOR迭代：ϕ+=n1i1,ji1,ji,j1i,j1i,jϕ+ωϕ+ϕ+ϕ++ϕ+−ϕ)/4nnnn1n1n,(1,,11,,14,。一般只iji+jij+i−jij−ij因此可以在边沿上引入幻影点来接收存储相邻进程传来的数据

8、。并且区域内部点迭代时，不需要改变边界点的值，可以采用非阻塞通信即在内部点迭代要超松弛因子选择合适，就可大大加快收敛速度， 的同时进行边界数据的传输。具体的算法可参阅文使迭代次数近似与网格边长h成反比、有阶