数学史和方法论资料

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1、第二章希腊的数学一、古典时期的希腊数学（公元前6世纪——公元前3世纪）1、爱奥尼亚学派和演绎证明（1）创立人：泰勒斯（希腊科学之父）（2）发现5个面题：圆被任一直径二等分；等腰三角形的两个底角相等；两条直线相交，对顶角相等；两个三角形，有两个角和一条边对应相等，这两个三角形全等；内接于半圆的角必为直角。（泰勒斯定理）（3）意义贡献：泰勒斯对数学学科的发展的贡献不仅仅在于他发现了这些定理，更重要的是泰勒斯提供了某种逻辑推理，实际上泰勒是将逻辑学中的演绎推理引入了数学，故他获得了第一位数学家和论证几

2、何学鼻祖的美誉。2、毕达哥拉斯学派与“万物皆数”（1）创立人：毕达哥拉斯（2）信条：“万物皆数”，认为：数是有单子或1产生的，因此将1命名为“原因数”，，信奉和崇拜10，认为10是完美和谐的标志。（3）成就：①定义了许多数的概念：完全数（一个数等于除他本身以外的全部因数之和，如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14）；盈数（一个数大于除他本身以外的全部因数之和，如10＞1+2+5）；亏数（一个数小于除他本身以外的全部因数之和，如12＜1+2+3+4+6）；亲和数（若两个数中任一个数除本身以外

3、的全部因子之和等于另一个数，则称为亲和数，如220和284，220的因子之和是284，284的因子之和是220。）②形数：毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现多是借助图形的直观分析得到的。三角形数：正方形数：③三种平均数：毕达哥拉斯学派认为美是和谐与比例。算术平均值：A=；几何平均值G=，调和平均值H=④勾股定理：最早是毕达哥拉斯学派发现的，宰了一百头牛来祭神，又称“百牛定理”⑤发现不可公度量：毕达哥拉斯学派相信任何量都可以表示乘两个整数之比（即某个有理量），后发现正方形的对角线和其一边构成了不

4、可公度线段，不可公度量得发现，是数学史上的“第一次数学危机”。毕达哥拉斯学派的不可公度量向希腊数学提出了一个难题，就是如何处理离散与连续、有限与无限的关系3、芝诺悖论与巧辩学派（1）芝诺的三个关于运动的悖论：二分说：（物体的运动是不存在的）；阿基里斯追龟说；飞箭静止说（飞行的箭在其飞行的过程中的每一瞬间总是停留在某一个确定的位置上，它此时是不动的。）三大悖论揭示了离散与连续、有限与无限之间的矛盾。（2）巧辩学派三大作图问题（难在工具上，用直尺和圆规）：立方倍积问题（求作一个立方体，使其体积等于给

5、定立方体积的两倍）；三等分任意角问题；化圆为方问题（作一正方形，使其余一给定圆等面积。）4、柏拉图学派（1）柏拉图：在雅典创建了欧洲历史上第一所学校；提出了几何学的原子说（火微粒是正四面体，土微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体）；提出数学证明是以某些自明的假设即公理为出发点，经过逻辑推理，显然是公理化方法的开端。（2）欧多克索斯：对数学的最大贡献是运用了公理法建立了比例理论，处理了“不可公度量”即无理数问题；完善了穷竭法。为欧几里得编著《几何原本》奠定了基础。（3）梅奈赫莫斯圆锥

6、曲线理论的创始人。当圆锥的顶角为直角时所得截线为抛物线；当圆锥的顶角为锐角时为椭圆；当圆锥的顶角为钝角时所得截线为双曲线的一支。（4）亚里斯多德建立了形式逻辑学。提出：多边形外角之和等于四直角；在包围给定面积的所有平面图形中，圆的周长最小。二、希腊数学的黄金时代（亚历山大时期公元前3世纪——公元6世纪）1、欧几里得《几何原本》（1）五条公设：从任一点到任一点作直线是可能的；将有限直线不断沿直线延长是可能的；以任一点为中心与任一距离为半径作圆是可能的；所有的直角你都是相等的；若一直线与两直线相交，

7、且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。（2）五个公理：与同一东西相等的一些东西彼此相等；等量加等量，其和相等；等量减法等量，其差相等；彼此重合的东西是相等的；整体大于部分。（3）《几何原本》的内容（共13卷）包括：平面几何（前6卷）、初等数论（7、8、9卷）、无理量理论（10卷）、立体几何（11、12、13卷）。（4）《几何原本》的历史意义：①《几何原本》从少数几个公理出发，由简到繁地推演出460多个命题，建立起人类史上第一个完整的公理演绎体系，是希腊数学的最大成

8、功，称为数学史上的一块丰碑。②它是西方数学教育的而依据，从古代到19世纪，他不仅是几何学得标准教科书，而且被认为是研究数学者所必读的经典，因而有“数学家的圣经“这一美称。③欧几里得为几何证明提供了典范。（5）《几何原本》的缺点：首先主要是理论尚不够严密，其次是对有些定义的叙述欠妥，或显得含糊其词，刻划不当。此外全书在组织上也未一气呵成，某些部分有重复，个别命题的证明有遗漏或错误等。2、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》（1）《圆锥曲线》的成就：①第一次像现在这样，依靠改变截面的角度从一对顶圆锥得到3中圆锥