数学史与方法论 自学考试提纲

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1、第一章数学的萌芽1古埃及的数学公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做兰德纸草书，一卷藏在莫斯科。2埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。3古埃及的计数制埃及很早就用十进记数

2、法，古埃及人的计数系统是叠加制，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。兰德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方

3、。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。4埃及几何的突出成就：古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔等都需要测量，尼罗河水泛滥后冲刷了许多边界标记，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。因此古埃及人的几何学知识较为丰富，在两种纸草书中，有26个十几何问题,许多与金字塔有关，如：在莫斯科纸草书中有：一个截顶金,字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2求体积。他们的算法是：4的平方是16，4的二倍,8,2的平方是4

4、，把16、8、4相加为28.取6的三分之一为2，取28的2倍为56，则是体积数。由此可以看出，古埃及人是通过具体问题说明了高位h底边长为ab的正四棱台得体积公式是V=1/3(a2+ab+b2)h，著名数学家贝尔形象地将这一古埃及数学杰作成为“最伟大的埃及金字塔”5古巴比伦的计数制：古巴比伦的计数系统是60进制，也使用分数，总用60作为分母，但他们的分数系统是不成熟的。古巴比伦的算术运算也是借助各种各样的表来进行的。6试比较古埃及和巴比伦的解方程的方法，及对后来发展的启迪意义。1古埃及解决方程问题的方法是试位法：如对于方程x+x/7=24,先给x选一个定值，如7+7/7=8,

5、而不是24，因为8需乘3才是24，故x的值是21，“但试位法”对于一元一次方程，可以得到精确的解，而对于二次以上的方程一般情况下只能给出近似解。2古巴比伦的如在英国大不列颠博物馆13901好泥板记载问题：我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二的35/60,求该正方形的边长。给出的解法是：1的三分之二是40/60.其一半是20/60，将它自乘得6/60+40/602并把它加到35/60上得41/60+40/602其平方根是50/60.再从中减去40/60的一半的30/60于是1/2是所求正方形的边长，这一解法相当于将方程x2+px=q的系数代入公式求解，只不过计算时用的

6、60进制。他们可能知道某些类型的一元二次方程的求根公式，但没有负数的概念。如何得到这些解法的，没有说明。在一块泥板上给出了数表。专家研究：这个数表解决形如x3+x2=b的三次方程的。7普林顿322号泥板书的数学意义。该泥板一损害了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家认为：这是一张勾股数（即x2+y2=z2的整数解）表，并且及可能用到了下列参数式：x=2uv,y=u2-v2,z=u2+v2.而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。第二章希腊的数学1、希腊数学学派与演绎数学的产生；（1）爱奥尼亚学派和演绎证明：以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚

7、地区的海滨城市米利都，享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派—爱奥尼亚学派。其中定理“内接于半圆的角必为直角”被称为“泰勒斯定理”重要的是他对定理提供了某种逻辑推理。如：两条直线相交，对顶角相等，证明：角a加角c等于平角，角b加角c也等于平角，因为平角是相等，所以叫a等于角c(等量减等量。余量相等)说明，从泰勒斯开始已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础。获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉又被西方称为“测量学的鼻祖”(2)毕达哥拉斯学派与“万物皆数”他组织