厦门大学高等代数精品课程网站难题解答整理

《厦门大学高等代数精品课程网站难题解答整理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、厦门大学高等代数精品课程网站难题解答整理高等代数资源网www.52gd.orgFebruary14,20121声明本文仅对厦门大学高等代数精品课程网站http://gdjpkc.xmu.edu.cn/中难题解答栏目(http://gdjpkc.xmu.edu.cn/QuestionList.aspx?cID=33)的内容进行了整理.由于网站中的问题与解答都是图片格式,较为不便,因此将其转化为支持搜索查找的pdf文件.省略了部分问题解答,对一些问题的解答按照个人习惯修改了符号表示及叙述方式,虽然尽力仔细进行了校对,但难免有疏漏之处

2、,与原解答无关!每个问题解答的后面都注明了解答者的单位与姓名.感谢厦门大学高等代数精品课程网站提供了这样一个交流学习的平台,感谢提供解答的各位老师!本文中的有关翠鸟的图片来自网络,仅供欣赏.相关权利归原作者所有!您现在看到的这份文件来自http://www.52gd.org.本站原创的内容，采用创作共用组织（CreativeCommons）的“公共领域”（PublicDomain）许可。即放弃一切权利，全归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何

3、承诺,作者不对因使用本文而造成的一切后果承担任何责任.关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要查看本文.记住:别人做是别人的，自己做才是自己的.作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指教:www52gdorg@163.com.1厦门大学高等代数难题解答网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn2正文2正文这是一组关于翠鸟的故事的图片,欣赏一下吧.http://gdjpkc.xmu.edu.cn2高等代数资源网http://www.52gd.org整理厦门大学高等代数难题解答网址:http://

4、gdjpkc.xmu.edu.cn3行列式3行列式例3.1求下列行列式的值:(a+b)2c2c2D=a2(b+c)2a2b2b2(c+a)2解:行列式D展开后是一个关于a;b;c的三元六次齐次多项式.http://gdjpkc.xmu.edu.cn3高等代数资源网http://www.52gd.org整理厦门大学高等代数难题解答网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn3行列式当a=0时,b2c2c2D=0(b+c)20=0;b2b2c2所以行列式D有因子a:同理,行列式D有因子bc:当a=bc时,c2c2c2D

5、=(b+c)2(b+c)2(b+c)2=0;b2b2b2所以行列式D有因子a+b+c:这时行列式D有四次因子abc(a+b+c);因此D还有一个二次齐次因子.设222D=abc(a+b+c)(k1a+k2b+k3c+k4ab+k5ac+k6bc)观察项a4bc;它在上式中的系数是k;另一方面,该项等于D中的项(a+b)2取a2;项(b+c)2取2bc;1项(c+a)2取a2;三者相乘而得,因此通过比较系数可得k=2:同理可求出k=k=2:123观察项a3b2c;它在上式中的系数是k+k;另一方面,该项等于1422232cab2a

6、c+a2ab2bc=6ab;故k4=4;同理k5=k6=4:所以D=2abc(a+b+c)3:(厦门大学数学科学学院硕士研究生林增强解答)例3.2设A是n阶实反对称矩阵,D是同阶对角阵且对角元全大于0,证明A+D的行列式大于0.1证明:由设知D可逆,jDj>0;D2存在,且为正对角元的对角阵.对A+D施行合同变换如下:1111D2(A+D)D2=D2AD2+I≜B+I11则因A为实反对称矩阵,故B=D2AD2也是实反对称矩阵,其特征值只能是0或纯虚数且后者必成对出现,设为0;


;0;b1i;b1i;


;b

7、mi;bmi;其中bj̸=0;j=1;


;m:从而B+I的特征值为1;


;1;1+b1i;1b1i;


;1+bmi;1bmi;因此22jB+Ij=1


1(1+b1i)(1b1i)


(1+bmi)(1bmi)=(1+b1)


(1+bm)>0:所以A+D的行列式11jA+Dj=jD2(B+I)D2j=jDjjB+Ij>0注:当D为对称正定矩阵时,结论仍然成立.http://gdjpkc.xmu.edu.cn4高等代数资源网http://www.52gd.org整理厦门大学高等代数难题解答网址:htt

8、p://gdjpkc.xmu.edu.cn3行列式(厦门大学数学科学学院林鹭副教授解答)例3.3证明:如果n阶行列式D=(aij)中的所有元素都是1或1;则当n3时,jDj(n1)(n1)!:证明:对n用数学归纳法.当n=3时,利用D=a11a22a3