博士数学论坛高等代数问题解答整理

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1、博士数学论坛高等代数问题解答整理高等代数资源网www.52gd.orgJanuary2,20121声明本文仅对博士数学论坛http://www.math.org.cn/专业数学解答库中高等代数的部分问题进行了整理.您现在看到的这份文件来自http://www.52gd.org.本站原创的内容，采用创作共用组织（CreativeCommons）的“公共领域”（PublicDomain）许可。即放弃一切权利，全归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。本文的内容仅供学习参考之

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3、3,1791,1899,2007都能被9整除.不计算行列式的值,证明下列行列式能被9整除.14131791D=18992007证明:D的第2列乘以100,第3列乘以10,第4列乘以1后都加到第1列后可得.例3.2计算行列式1+2x1x2+x1


xn+x1x2+x11+2x2


x2+xnD=............xn+x1xn1+x2


1+2xn◇※☆■◇◇※☆■◇3高等代数资源网http://www.52gd.org3行列式www.52gd.org解:两次加边可得.例3.3计算行列式x

4、yzabczxycabyzxbcaD=abcxyzcabzxybcayzx解:分块计算,如下:ABA+BA+BA+B0BA=BA=BAB=jA+BjjABj例3.4设A;B为n阶实矩阵，证明AB0:BA证明:(法1)参看王品超高等代数新方法(上)P68问题17.(法2)参看王品超高等代数新方法(下)P261问题146.()()()()E0ABE0AiBB=iEEBAiEE0A+iB两边取行列式,得AB=jAiBjjA+iBjBA注意到jAiBj;jA+iBj互为共轭即可.例3.5A

5、;B为二阶实矩阵,A2+B2=0:证明:det(ABBA)0:证明:(AiB)(A+iB)=i(BAAB);设A+iB的特征值为a1+ib1;a2+ib2;则AiB的特征值为a1ib1;a2ib2;则2222jABBAj=jA+iBjjAiBj=(a1+b1)(a2+b2)0:◇※☆■◇◇※☆■◇4高等代数资源网http://www.52gd.org4线性方程组www.52gd.org4线性方程组看什么看,没见过美女?∑n例4.1设整系数线性方程组j=1aijxj=bi(i=1

6、;2;


;n):证明该方程组对任何整数b1;


;bn都有整数解的充要条件为该方程组的系数行列式为1:证明:将方程组写成矩阵形式AX=b:由条件当b取单位向量e1;


;en时都有解,记为X1;


;Xn:则有A(X1;


;Xn)=(e1;


;en)即AB=E:于是jAjjBj=1:由jAj;jBj都是整数可得.例4.2设A为mn矩阵,B为ms矩阵.证明矩阵方程AX=B有解的充要条件为r(A)=r(A;B):◇※☆■◇◇※☆■◇5高等代数资源网http://www.52gd.o

7、rg4线性方程组www.52gd.org证明:设AX=B有解X=C=(c1;c2;


;cs);则AC=A(c1;c2;


;cs)=(b1;b2;


;bs)=B于是Aci=bi;i=1;2;


;s即bi可由A的列向量线性表示,从而A的列向量组与矩阵(A;B)的列向量组等价,因此r(A)=r(A;B)反之,若r(A)=r(A;B);由上面的证明可知AX=B有解.例4.3设A=(aij)为n(n+1)矩阵,E为n阶单位矩阵.证明:满足AX=E的(n+1)n矩阵X存在的充要条件为r(A)=

8、n:证明:必要性.由于n=r(E)=r(AX)r(A)n可得r(A)=n:充分性.(法1)利用例(4.2),只需证明r(A)=r(A;E):这是显然的.(法2)令ei表示第i个分量为1,其余分量为0的n维列向量,由于n=r(A)r(A;ei)n;故r(A)=r(A;ei);从而线性方程组Ax=ei(i=1;2;


;n)有解,设为x1;


;xn;令X=(x1;


;xn);则有A(x1;


;xn)=(e1;


;en)=E例4.4(