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1、高等代数问题解答高等代数资源博客www.52gd.orgDecember17,20101声明您现在看到的这份文件来自http://www.52gd.org.本站原创的内容，采用创作共用组织（CreativeCommons）的“公共领域”（PublicDomain）许可。即放弃一切权利，全归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本文而造成的一切后果承担任何责任.关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要
2、查看本文.记住:别人做是别人的，自己做才是自己的.作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指教:www52gdorg@163.com.2问题与解答看什么看,没见过美女?3行列式看什么看,没见过美女?例3.1已知1413,1791,1899,2007都能被9整除.不计算行列式的值,证明下列行列式能被9整除.14131791D=189920071高等代数问题解答www.52gd.org证明:D的第2列乘以100,第3列乘以10,第4列乘以1后都加到第1列后可得.例3.2计算行列式1+2x1x2+x1···xn+x1x2+x11+2x
3、2···x2+xnD=............xn+x1xn−1+x2···1+2xn解:两次加边可得.例3.3计算行列式xyzabczxycabyzxbcaD=abcxyzcabzxybcayzx解:分块计算,如下:ABA+BA+BA+B0BA=BA=BA−B=
4、A+B
5、
6、A−B
7、4线性方程组看什么看,没见过美女?∑n例4.1设整系数线性方程组j=1aijxj=bi(i=1,2,···,n).证明该方程组对任何整数b1,···,bn都有整数解的充要条件为该方程组的系数行列式为±1.证明:将方程组写成矩阵形式AX=b.由条件当
8、b取单位向量e1,···,en时都有解,记为X1,···,Xn.则有A(X1,···,Xn)=(e1,···,en)即AB=E.于是
9、A
10、
11、B
12、=1.由
13、A
14、,
15、B
16、都是整数可得.例4.2设A为m×n矩阵,B为m×s矩阵.证明矩阵方程AX=B有解的充要条件为r(A)=r(A,B).◇※☆■◇◇※☆■◇2高等代数资源博客http://www.52gd.org高等代数问题解答www.52gd.org证明:设AX=B有解X=C=(c1,c2,···,cs),则AC=A(c1,c2,···,cs)=(b1,b2,···,bs)=B于是
17、Aci=bi,i=1,2,···,s即bi可由A的列向量线性表示,从而A的列向量组与矩阵(A,B)的列向量组等价,因此r(A)=r(A,B)反之,若r(A)=r(A,B),由上面的证明可知AX=B有解.例4.3设α0,α1,···,αn−r是线性方程组AX=β(β̸=0)的n−r+1个线性无关的解向量,A的秩为r.证明:α1−α0,α2−α0,···,αn−r−α0为对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系.证明:只需证明α1−α0,α2−α0,···,αn−r−α0线性无关.设k1(α1−α0)+k2(α2−α0)+···+k
18、n−r(αn−r−α0)=0即(−k1−k2−···kn−r)α0+k1α1+k2α2+···+kn−rαn−r=0由α0,α1,···,αn−r线性无关,可得k1=···=kn−r=0.例4.4设A=(aij)和B=(bij)是两个n阶矩阵,令a11···a1nb1kA(k)=...···......,k=1,2,···,nan1···annbnk证明:存在n阶矩阵X使得AX=B的充要条件为r(A)=r(A(1))=r(A(2))=···=r(A(n)).证明:(法1)将B按列分块为B=(B,···,B),则A(
19、i)=(A,B).由于线性方程组Ax=1niB的充要条件为r(A)=r(A,B)=r(A(i)),i=1,···,n.故iiAX=B有解⇔Ax=Bi(i=1,···,n)有解(i)⇔r(A)=r(A,Bi)=r(A),i=1,···,n.(法2)首先,r(A)≤r(A(i))≤r(A,B),其次矩阵方程AX=B有解的充要条件为r(A)=r(A,B).故结论成立.例4.5(南开08)设A1,···,Am为n阶方阵,且r(A1···Am)=r(Am).证明:对任何1≤j,k≤n,齐次方程组AjAj+1···AmX=0与AkAk+1
20、···AmX=0同解.◇※☆■◇◇※☆■◇3高等代数资源博客http://www.52gd.org高等代数问题解答www.52gd.org证明:不妨设j≤k,则AjAj+1···AmX=0的解是AkAk+1···AmX=0的解.只需证明r(AjAj+1···Am)=r(AkA
