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1、福州大学2009年硕士研究生入学考试《高等代数》试题1．解线性方程组其中为互不相等的数．2．证明:任一阶方阵可以表成一个数量矩阵(具有形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和.3．设为实矩阵,为阶单位阵,,证明:当时,为正定矩阵.4.设为阶不可逆方阵,证明:的伴随矩阵的特征值至少有个为0,另一个非零特征值(如果存在)等于.5.证明:相似的矩阵有相同的最小多项式.6.设为矩阵,为维列向量,证明有解的充分必要条件是对满足的维列向量也一定满足.7.证明:任一阶实可逆矩阵可以分解成一个正交阵与一个正定阵之积,即.8.设,,且.令,,
2、分别为线性方程组,,的解空间.证明.9.设是一些阶方阵组成的集合,其中元素满足,都有,且,证明:(1)交换律在中成立.(2)当时,中矩阵的行列式的值只可能为,.10.证明:不存在阶正交阵,使得.福州大学2009年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答1.所给线性方程组的系数行列式为范德蒙行列式因为互不相等,故.由克莱姆法则知,方程组有唯一解.取那么方程组的唯一解为,,.■2.设是任一个阶方阵,.假设可以写成的形式,其中为数域中的一个数,是一个迹为0的矩阵.那么于是即从得取那么是一个迹为0的矩阵,且.■3.对于任一个非零
3、实维列向量,有.令,那么.由于,故由正定矩阵的定义知,是正定矩阵.■4.设是数域上的阶不可逆方阵,则rank,.若rank,则的所有阶子式都为0,从而的元素.这时.显然,的个特征值都是0,结论成立.若rank,则至少有一个阶子式不为0,故,rank.(1)由知,的每个列向量都是齐次线性方程组的解向量.设,.由线性空间的理论和线性方程组的理论知rankdimdimrank.(2)由(1),(2)知rank.因为rank,故存在可逆矩阵,使得其中,且不全为零.这时其中,而不全为零.注意的特征多项式为.因此,当时,的个特征值
4、都为0；当时,的特征值为0(重),(一重).注意,对于一般的阶矩阵来说,若的特征值为,则.因此,对于本题来说,当有个特征值为0,而另一个特征值时,有.■5．设都是数域上的矩阵,且与相似.那么存在上可逆矩阵使得.设的最小多项式为,的最小多项式为,则,.由多项式带余除法知,存在使得,(1)其中,或.将代入上式,得,即.于是,但,故,即有.于是有.由于是满足的次数最低的多项式,故.由(1)知,即.同理可证.注意都是最高次项系数为1的非零多项式,故.■6.必要性.设有解,即存在使得.记.设为的任一解,即,则.于是,即.因此,即
5、,这说明是的解.■7.因为是阶实可逆矩阵,则是正定矩阵.于是存在正交矩阵使得.于是.(1)令,从(1)式知,是正交矩阵.令那么是正交矩阵,是正定矩阵,且,即.■8.因为,由多项式互素的充要条件知,存在使得.将代入上式,得,即.任取,则,.取,.由于都是的多项式,故,进而有于是即,.因此,,,从而有.注意到,容易看出,,,从而.因此.(1)任取,则,.于是,故.(2)由(1),(2)式可得.■9.(1)任取,由所给条件知,.令,,则.于是即交换律在中成立.(2)任取,若,则.对上式两边取行列式,得,即.于是或,即或.■1
6、0.反证法.假设存在正交矩阵,使,则.由于正交矩阵满足,故注意是正交矩阵,且,故是正交矩阵.于是即.(1)从得.由于也是正交矩阵,故是正交矩阵,且即.(2)将(1),(2)左右两端分别相加,得,这显然是不可能的.■华东师大2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题一．填空、选择、是非题（共15小题，满分60分，每小题4分）1．设3阶方阵的特征值为2，3，5，则2．如果是的2重根，则一定是多项式的5重根.3．设向量组…，线性相关，且其中任意个向量线性无关，则存在全不为0的 数…，，使得.4．设与分别是数域上8元齐次线性
7、方程组与的解空间，如果，，那么5．实反对称矩阵的非零特征值必为：A.正实数B.负实数C.1或-1D.纯虚数6．若三次实系数多项式恰有一个实根，为的判别式，则A.B.C.D.7.3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有个8．设是行列式等于-1的正交变换，则一定是的特征值。9．排列与排列具有相同的奇偶性的充要条件是10．设是数域上非齐次线性方程组的特解，是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是：A.是的一组线性无关解向量；B.的每个解均可表为的线性组合；C.是的解；D.的每个解均可表为的线性组合.11．以下各向量
8、组中线性无关的向量组为：A.B.C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);D.(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)12. 由标准欧几里得空间中的向量组，，，张成的子空间W的一组规范正交基为13．设V是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则=W（A）（B）（C）=（D）14．的逆矩阵15
