函数最值问题处理策略

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1、函数最值问题处理策略湖南祁东育贤中学周友良421600湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用.最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法：主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数解题过程中要注重自变量的取值范围。例1.已知函数(a,求函数y的最小值.分析:将函数表达式按配方,转化为关于为变量的二次函数解：=,令t=,，的定义域,抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,当a且a0时,当a>2时,评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的

2、取值范围.和对称轴与区间的相对位置关系.二.不等式法.运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正二定三相等”例2.求函数y=(x>-1且a>0)的最小值.解:y==ax++(1-a)=a(x+1)++1-2a2+1-2a=1当a(x+1)=,即x=0时等号成立,=1三.换元法.主要有三角换元和代数换元换两种.用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围例3.求函数y=的最大值和最小值.解一:先求定义域得令x=siny=sin+cos=+,,y=1,当时,y=解二:令=u,,(u,v则y=u+v即v=-u+y由直线方程斜截式纵截

3、距的几何意义知:.y=1,y=例4求函数y=的最大值和最小值.解:f(x)=令x=tan,则f(x)=f(=cos+-sin+=-(sin+当sin=时,=当sin=-1时,=-四.数形结合法.主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值.例5.已知x求x的最值.分析:本题已知条件转化为(x-1),可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理.解:作x的图形,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x=2x-4y+20,设x=z,则z=2x-4y+20即y=,其图形是斜率为且与已知圆相交

4、的一簇平行线,于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题.由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即即故30-10,故为最小值,为最大值即x最大值30+10最小值30-10五.函数的单调性法.先判明函数给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值例6.已知函数f(x)定义域R,为对任意的都有f(=f(且x>0时f(x)<0,f(1)=-2试判断在区间上f(x)是否有最大值和最小值?如果有试求出最大值和最小值,如果没有请说明理由.解:令==0,则f(0)=

5、f(0)+f(0)f(0)=0,令=x,=-x则f(x)+f(-x)=f(0)=0f(x)=-f(-x),f(x)为奇函数.设,且->0,f()-f()=f()+f(-)=f(-)<0,f()

6、数y=的最大值和最小值解:函数的定义域为R这是因为的判别式故>0对一切xR均成立.函数表达式可化为(y-1)当y时xR,上面的一元二次方程必须有实根,解得:,(y当y=1时,x=0.故例8.求函数y=x+的最大值和最小值解:y-x=两边平方整理得:2x-2(y+1)x+y是=0,x是实数解之得1-;此外由x(2-x)得0于是y=x+故01+,故评注:此题在解的过程中历经平方变形,从而扩大了的取值范围,故利用判别式求出的范围后应综合函数的定义域,将扩大部分剔除.七.导数法.设函数f(x)在上连续在上可导,则f(x)在上的最大

7、值和最小值应为f(x)在内的各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值例9.动点P(x,y)是抛物线y=x-2x-1上的点,o为原点,op当x=2时取得极小值,求,op的最小值解:op=x+y=x+(x-2x-1)=x-4x+3x+4x+1.令c=x-4x+3x+4x+1,则=4x=4(x-2)(x-)(x-,令=0得:x=2,,x2-0+0-0++极小值极大值极小值因定义域为,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f()=f(2)=5,故f(x)的最小值即op的最小值为。