函数最值问题的处理方法

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1、函数最值问题的处理方法摘要函数的最值问题遍及代数，三角，立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。求函数最值的方法有：配方法，不等式法，换元法，函数单调性法，判别式法，数形结合法，导数法，线性规划问题，利用三角函数的有界性关键词：函数,最值问题，处理方法一、配方法形如或者可化成y二GF+bx+cQHO)的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值，解题过程要特别关注自变量的取值范围。例1：已知f(x)=x2+2x+2,分别求出f(x)在闭区间:(1)［-4,-2］,(2)［2,3

2、］,(3)［-2,3］上的最大值M和最小值m解：f(x)的图像开口向上，对称轴x=T(1)对称轴x二-1在区间［-4,-2］的右侧，f(x)在［-4,-2］上是减函数，所以M二f(-4)二10,m=f(-2)=2(2)对称轴x二-1在区间［2,3］的左侧，f(x)在［2,3］上是增函数，所以M二f(3)=17,m=f(2)=10(3)对称轴x二-1在区间［-2,3］内，对称轴在区间中点的左侧，所以M二f(3)二17,m=f(-1)=1用配方法求最值的方法步骤：(1)求二次函数在开区间上的最值，看开口方向，确定为最大值或最小值。(2)求二次函数在闭区间上的最值，一看开口方向，二看对称轴在闭区间

3、的相对位置，分四种情况：(1)对称轴在闭区间的左侧；(2)对称轴在闭区间的右侧；(3)对称轴在闭区间屮点的左侧；(4)对称轴在闭区间中点的右侧。二、不等式法通过式的变形，将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征，从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件，即“一正，二定，三相等”。例2：设x,y,a,be(0,+°°),且a,b为常数，若—+—=1,试求x+y的最小无y值。错解:・・・1二色+匕》2」®,则历陌xyxy故x+y>2y[xy>^4cib,即x+y的最小值为4丽^分析：不

4、等式-+->2—,当且仅当土二竹寸“二”成立，而不等式x+y»2历xyxyxy中，当且仅当X二y时“二”成立。当d工b吋，以上两个不等式的等号不能同吋成立，故当a^b吋，x+y>4yfab不能取“二”，所以—+—的最小值4&拆是不正确的兀y正解:x+y=l*(x+y)=bx}+—y故x+y的最小值是a+b+2^/ab。二、换兀法主要有三角换元和代数换元。用换元法时，要特别关注中间变量的取值范围。例3：求函数y=(1+cos0(1+sin兀)的最大值M和最小值m解：y=(1+cosx)(l4-sinx)=l+(sinx+cosx)+sinx+cosx令(sinx+cos兀)=/,贝ijte[

5、-V2,V2],sinxcosx=-2t^y=-r+z+-=-(z+l)2■222V7当r=V2吋，M=(3+2V2)/2当f=-l时，m=0例4：求函数y=2x+Jl-2兀的最值。分析：先观察结构特点，可用代数换元去掉根号。解：令Vl-2x=t(t^O),则2x=—F+1Ay=—t2+t+1=—(t——)2+-24・気=丄时,ymax=-，无最小值。24评注：形如y=ax+b+Jcr+〃形式的函数最值问题，可先考虑利用单调性，单调性不易确定时，可采用代数换元。四、函数单调性法利用函数的单调性是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调性，一般适用于抽象函数例5：已知函数f(x)的定义域为

6、R,对任意的州,兀2WR，都有/(州+兀2)=于(州)+/(兀2)且x>0时，f(x)<0,f(1)=-2,试判断在区间［-3,3］Jl,f(x)是否有最大值或最小值？如果有求出最大值和最小值，如果没有，说明理由解：令xl=x2=0,贝！Jf(0)=f(0)+f(0)故f(0)=0令Xi=x,x2--x,贝0f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(_x)=・f(x),则f(x)是奇函数设x{,x2eR且兀］Y勺，则x1-x2>0故/(兀】)一/(兀2)=f(x2)+/(一兀I)=产(兀2-兀】)Y0J(兀2)Y/(X,)因此f(x)在R上为减函数又f(1)二一2,贝f(3)=f(1+2)=

7、f(1)+f(2)=3/(1)=-6/(-3)=-/⑶=6故在［-3,3］上，f(x)为减函数存在最犬值和最小值当x=-3J(x)max=/(-3)=6当x=3,/(x)max=/(3)=-6五、判别式法主要适用于可化为关于X的二次方程的函数，当x的范围是R时，仅考虑△即可，当x的范围非R时，还需结合图像另列不等式组求解.例6：求函数y=x-¥yjx(2-x)的最大值和最小值解：y-x=^x(2-x),两边平