第5章 材料力学弯曲内力

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1、第5章弯曲内力5.1平面弯曲的概念弯曲（bending）是杆件的基本变形之一。如果杆件上作用有垂直于轴线的外力(通常称为横向力)或作用有位于轴线所在平面内的力偶，使变形前原为直线的轴线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。凡是以弯曲变形为主要变形的杆件，通常称为梁（beam）。在工程实际中，杆件在外载荷作用下发生弯曲变形的事例很多。例如，火车轮轴(图5—la)和桥式吊车的大梁(图5—lb)在垂直于轴线的载荷F和G等作用下均发生弯曲变形。绝大多数受弯杆件的横截面都具有对称轴，如图5—2a中的点划线。因而，杆件具有对称面(图5—2b中的阴影面)，杆的轴线包含在对称面内。当所有外力(或者外

2、力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线，这种变形称为平面弯曲（planebending）。图5—1所示的火车轮轴、吊车大梁都是平面弯曲的实例。5.2梁的计算简图各种机械和结构中受弯杆件的载荷和约束是比较复杂的。进行强度、刚度计算时，必须抓住其本质因素，对构件作出简化，得出计算简图。下面分别讨论梁上载荷和支座的简化。一、载荷的简化梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式：1．集中力如上面提到的火车轮轴上的F(图5—la)、吊车大梁的G(图5—lb)等，它们的分布范围远小于轴线或大梁的长度，因此可以简化为集中力。集中力的常用单位为牛顿(N)或千牛顿(kN

3、)。2．集中力偶如图5—3所示的齿轮轴，作用于斜齿轮上的啮合力可以分解为切向力、径向力Fr和轴向力Fx。如果只研究Fx对轴的作用(图5—3b)，则可将Fx平移至齿轮中心，简化为一个轴向力Fx和一个在圆轴对称平面内的力偶矩Me=Fxr(图5—3c)，其中r为斜齿轮上啮合点到圆轴轴线间的垂直距离，Me称为集中力偶。常用单位为Nm或。3．分布载荷在梁的全长或部分长度上连续分布的横向力，可简化为沿轴线的分布载荷。如吊车大梁的自重(图5—1b)为均匀分布的分布载荷,分布载荷的大小可用载荷集度q来表示。设梁段上分布载荷的合力为⊿F(图5—4)，则(5—1)q的常用单位为N／m或kN／m。二

4、、支座的简化根据工程结构中的约束情况，梁的支座可简化为以下三种基本形式：1．固定铰支座图5—5a所示的汽车叠板弹簧，其右端只能产生绕销轴B的转动，而不能产生沿水平或垂直方向的位移，因此，简化为固定铰支座。它的约束反力为水平反力FBx、垂直反力FBy。2．可动铰支座叠板弹簧的左端除了可以绕销轴A转动外，还可产生水平方向的微小位移。因此，可以简化为可动铰支座，它只能产生铅垂方向的约束反力FAy。3．固定端图5—6a所示的工件，左端被卡盘夹紧，在切削力作用下，左端截面既不能发生转动，也不能产生水平和垂直方向的位移。这样的约束可以简化为固定端。它的约束反力除FBx、FBy外，还有阻止转

5、动的反力偶MA(图5—6b)。这里必须指出，理想的“自由转动”和“绝对固定”实际上是不存在的。如叠板弹簧与销轴之间就存在着摩擦力，只是由于它产生的阻止端面转动的力偶很小，把它忽略了。在工程实际中还有一些支座的简化并非如此典型。例如，图5—7a所示的齿轮轴，其两支承于轴承上,当轴在传动力作用下发生变形时，左右端面将发生微小偏转。由于轴承本身存在着间隙，不能阻止这种微小偏转，因而，可以简化为铰支座。左端的向心推力轴承能约束轴的径向和轴向位移，可简化为固定铰支座，而右端的滚柱轴承只能约束径向位移，则简化为可动铰支座(图5—7b)。还有一些梁，支座的简化是从整体的约束情况来分析的。如图

6、5—1a所示的火车轮轴，它的两端均支承在铁轨上。若车轮凸缘与铁轨内侧接触时，铁轨能限制轮轴沿轴线及其垂直方向的位移，而不能阻止车轴截面的转动。因此铁轨对轮轴的约束可简化为固定铰，而另一端则简化为可动铰。这样的计算简图能与实际工况等效。三种支座形式的简图及其在平面内的反力，如图5—8所示。三、静定梁的基本形式经过对载荷及支座的简化，并以梁的轴线表示梁，可以得出计算简图。图5—la、b中分别画出了火车轮轴和吊车大梁的计算简图。梁作平面弯曲时，所有作用于纵向对称面内的外力为一平面平衡力系，因而可建立三个独立的静力平衡方程。如果梁上未知的支反力只有三个，则可通过静力平衡方程求解，这样的

7、梁称为静定梁。常见的静定梁有以下三种形式：1。简支梁一端为固定铰，另一端为可动铰的梁，称为简支梁（simplesupportedbeam）。如吊车大梁(图5—1b)，叠板弹簧(图5—5b)均为简支梁。两支座间的距离称为跨度。2．外伸梁当简支梁的一端或两端伸出支座之外，称为外伸梁（overhandingbeam）。如火车轮轴(图5—la)即为外伸梁。3．悬臂梁一端固定、另一端自由的梁称为悬臂梁（cantileverbeam）。被车削的工件(图5—6b)为悬臂梁。5.3弯曲内力——剪力和弯矩对于