材料力学第4章弯曲内力

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1、第4章　弯曲内力4.1引言4.2梁的计算简图4.3弯曲内力及内力图4.4剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系4.5平面刚架与曲杆的内力4.1引　言图4－1图4－2图4－3一般来说，当杆件承受垂直于轴线的外力，或在其轴线平面内作用有外力偶时，杆的轴线将由直线变为曲线。以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。　　工程中常见梁的横截面往往具有对称轴（见图4－4(a)～(d)），由对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面（见图4－4(e)）。图4－44.2梁的计算简图为了对梁进行强度和刚度分析，首先必须

2、对梁的几何形状、约束及载荷进行简化。1.作用在梁上的外载荷作用在梁上的外载荷有以下三种：(1)集中载荷：若作用在梁上的横向力分布范围很小，可以近似地当作作用在一点的集中载荷，用F表示。(2)集中力偶:作用在微小梁段上的外力偶，可以近似地看做作用在梁上一点的集中力偶，用M或Me表示。(3)分布载荷:沿梁轴线连续分布在较长范围内的横向力，称为分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度q来描述，载荷集度就是沿梁轴线单位长度的作用力，其常用单位为N/mm或N/m。当载荷均匀分布时，q为常数；当载荷非均匀分布时，q为横截面位置x的函数，即

3、q=q(x)。2.梁支座的简化梁的支座可以简化为以下三种形式：(1)活动铰支座:如图4－5(a)所示,它对梁的约束力FR沿支承面法线方向，图4－5(a)给出了活动铰支座及其约束力简图。(2)固定铰支座:如图4－5(b)所示,在研究平面问题时，固定铰支座的约束力可用平面内两个分力表示，一般情况下，用沿梁轴方向的约束力FRx与垂直于梁轴方向的约束力FRy来表示。(3)固定端:如图4－5(c)所示,在研究平面问题时，相应约束力用三个分量表示,即沿梁轴方向的约束力FRx、垂直于梁轴方向的约束力FRy和位于纵向对称面内的约束力偶M

4、e。图4－53.静定梁的基本形式根据梁的支承情况，静定梁的基本形式可分为以下三种:(1)简支梁：一端为固定铰支座支承，另一端为活动铰支座支承的梁称之为简支梁，如图4－6(a)所示。图4－2所示造纸机上的压榨辊轴可简化为简支梁。(2)外伸梁:具有一个或两个外伸部分的简支梁称为外伸梁，如图4－6(b)所示。图4－1所示火车轮轴可简化为两端外伸梁。(3)悬臂梁:一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁，如图4－6(c)所示。高大塔器可简化为下端固定的悬臂梁。图4－6上述三种梁都可以用静平衡方程来计算约束力，属于静定梁。有时为了保证梁的

5、强度和刚度，为一个梁设置较多的支座，从而使梁的约束力数目多于独立静平衡方程数目，这时单凭静力学知识就不能确定全部约束力，这种梁称为静不定梁（超静定梁）。4.3弯曲内力及内力图4.3.1梁横截面上的内力——剪力与弯矩梁的外力确定后，就可用截面法分析梁的内力。如图4－7(a)所示简支梁，用截面法确定距A端为x处截面m－m上的内力。假想沿m－m截面将梁截开，分成左右两段，任选其中一段，例如左段（见图4－7(b)）进行研究。在左段梁上作用有外力FAy与F1，为了保持左段平衡，m－m截面上一定存在内力。为了分析其内力，将作用在左段

6、梁上的所有外力均向截面形心C简化，得主矢FS′和主矩M′。由于外力均垂直于梁轴，主矢FS′也垂直于梁轴。由此可见，当梁弯曲时，横截面上必然同时存在两种内力分量：与主矢平衡的内力FS；与主矩平衡的内力偶矩M。这种作用线与横截面相切的内力称为剪力，记为FS；作用在纵向对称面的内力偶矩称为弯矩，记为M。根据左段梁的平衡方程可得剪力FS的大小等于左段梁上所有横向外力的代数和，弯矩M的大小等于左段梁上所有外力对形心C取矩的代数和同理，如果以右段梁为研究对象(见图4－7(c))，并根据右段梁的平衡条件计算m－m截面的内力，将得到与左段大小

7、相同的剪力和弯矩，但是其方向相反。图4－7为了使选择不同研究对象得到的同一横截面上的剪力和弯矩，不但在数值上相同，而且正负号也一致，剪力和弯矩的正负号需根据变形来确定。规定如下：在梁内欲求内力截面的内侧切取微段，凡使该微段沿顺时针方向转动的剪力规定为正(见图4－8(a))，反之为负；使微段产生下凹变形的弯矩规定为正(见图4－8(b))，反之为负。按此规定，图4－7(b)、(c)所示的m－m截面上的剪力与弯矩均为正值。图4－8例4－1图4－9所示外伸梁上的外载荷均为已知，试求图示各指定截面的剪力和弯矩。图4－9解（1）求梁的约束

8、力。由静平衡方程可得解得（2）计算各指定截面的内力。对于截面5－5，取该截面右侧部分为研究对象，其余各截面均取相应截面左侧部分为研究对象。根据静平衡方程可求得:1－1截面：（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）2－2截面：3－3截面：4－4截面：5