33斯托克斯公式与旋度

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1、多元函数积分学第七节　斯托克斯公式与旋度格林公式揭示了平面上的二重积分与第二类曲线积分之间的关系，下面我们再介绍一个公式，它揭示了空间中第二类曲面积分与第二类曲线积分的关系，是格林公式的推广．一、斯托克斯（S.G.G.Stokes）公式设是具有边界曲线的定向曲面，我们规定其边界曲线的正向与定向曲面的法向量符合右手法则．记作．比如，若是上半球面的上侧，则是面上逆时针走向的单位圆周．定理1（斯托克斯公式）　设是一张光滑或分片光滑的定向曲面，的正向边界为光滑或分段光滑的闭曲线．如果函数、、在曲面上具有一阶连续偏导数，则有为便于记忆斯托克斯公式可以用如下形式表示显然格林公式

2、是斯托克斯公式的特殊情况．和平面上的曲线积分与路径无关的条件一样，有如下定理8多元函数积分学定理2设是空间的一个一维单连通区域，则沿内定向曲线的积分与路径无关的充分且必要条件是则曲线积分与路径无关，只与起、终点有关．例1　计算，其中为平面被坐标面所截下的三角形的整个边界，正向与三角形上侧的法向量之间符合右手规则．解　由曲面积分定义可知利用斯托克斯公式例2　计算8多元函数积分学其中是用平面截立方体的表面所得的截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向．解取为平面的上侧被所围的部分，的单位向量，由斯托克斯公式及第二类曲面积分的定义得例3　求，为螺旋线，增大的方向为正向．8多元

3、函数积分学解　由于在中，有，，该积分与路径无关，可取积分路径为直线，其中，，所以：一、旋度对于向量场称下述向量为向量场的旋度（rotation）记为，即8多元函数积分学有了旋度的概念，斯托克斯公式可以写为当时，与路径无关．下面解释一下旋度的物理意义．第二类曲线积分称为向量场沿正向的环流量．为了说明环流量的意义，我们以河流中的旋涡这样一个特殊的流速场为例，表示沿曲线正向的速度的环流量．为形象起见，不妨设是一个圆，我们设想作一个与该圆同样大小的小圆叶轮，叶轮的轴的方向与小圆正向符合右手规则，若将此叶轮放至旋涡中某点处，叶轮开始转动，根据经验，转动的快慢与轴的方向和叶轮大

4、小有关，即与转动的快慢取决于曲线积分的大小，当轴垂直于旋涡表面（此时的方向与一致）时，转动较快，当轴与旋涡表面有倾角时，叶轮转动较慢，可见环流量表示叶轮沿周界8多元函数积分学正向转动趋势的大小．这个量表示了速度场相对于有向闭曲线的一种总体形态，但是不能反映出场内某点处的转动趋势的大小．为此，作与小圆叶轮面积（也表示叶轮面）之比，称为环流量平均面密度当缩向点时，若极限存在，该极限值表示位于点处的小水滴沿叶轮轴的方向转动趋势的大小，这就是环流量面密度的概念根据积分中值定理，存在，使得．一个旋度处处为零的向量场称为无旋场，无旋无源场称为调和场，调和场是物理学中一类重要的场

5、，这种场和调和函数间有着密切的联系．本章的几个主要公式都是微积分学基本公式在二维和三维空间中的推广．微积分基本公式曲线积分基本公式8多元函数积分学格林公式　　斯托克斯公式　　高斯公式　　一、向量微分算子为方便记，在场论中经常运用一个运算符号，它称为（Nabla）算子，其定义为这个算子可以作用到数量值函数上，也可以像通常的向量一样，与向量值函数作数量积和向量积，从而得出新的函数，其规定如下：1）设，则2）设，则又8多元函数积分学　　　　利用以上规定，高斯公式和斯托克斯公式可分别写为小结　斯托克斯公式空间中积分路径无关的条件　旋度的定义及其计算公式算子8