斯托克斯公式环流量与旋度ppt课件.ppt

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1、三、环流量与旋度斯托克斯公式环流量与旋度第七节一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件*四、向量微分算子第十一章1一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式2是有向曲面的正向边界曲线右手法则证明如图3思路曲面积分二重积分曲线积分12415根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线6同理可证故有结论成立.7另一种形式便于记忆形式8Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形9二、简单的应用解按斯托克斯公式,有1011解则12即13例3.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被

2、所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦14*三、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有15证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则16同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕17与路径无关,并求函数解:令积分与路径无关,因此例4.验证曲线积分18四、物理意义---环流量与旋度1.环流量的定义:19利用stokes公式,有2.旋度的定义:202

3、1设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:22斯托克斯公式的又一种形式其中23斯托克斯公式的向量形式其中24Stokes公式的物理解释:25解由力学知道点的线速度为观察旋度由此可看出旋度与旋转角速度的关系.26例6.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.27的外法向量,计算解:例7.设28*五、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.则29则高斯公式与斯托克斯公式可写成:30六、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯

4、公式成立的条件斯托克斯公式31思考与练习则提示:三式相加即得32练习题3334练习题答案35斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.36