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1、第七节、斯托克斯公式与旋度一、斯托克斯(stokes)公式二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度四、向量微分算子一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式是有向曲面的正向边界曲线右手法则证明如图思路曲面积分二重积分曲线积分121根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线同理可证故有结论成立.情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕另一种形式便于记忆形式Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的
2、曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性解则例2即例3.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4
3、)在G内处处有证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕对(3)在G中存在函数，使得曲线积分中的被积分式为的全微分，即：并且有与路径无关,并求函数解:令积分与路径无关,因此例4.验证曲线积分设力场为证明：该力场为保守力场，并求场对质点M沿任何一路径L从点到点所作的功W解：从而沿任何必路L所作的功为零，即例5从而证明其为保守力场，此力场所作的功W只与始点和终点有关，而与路径无关，因此有三、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为令,引进一个向量记作向量rotA称
4、为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation向量场A的环量表示质点在A作用下沿闭合曲线的旋转情况环量面密度：P104定义10.7利用斯托克斯公式和第一类曲面积分的中值定理可得环量面密度在直角坐标系中的计算公式：显然环量面密度为一个与方向有关的数量环量面密度公式与数量场在一点处沿某方向的方向导数类似；不妨将计算公式中的三个数看作某个向量的三个坐标，并注意到R在给定点M是一个固定的向量，从而M处沿方向的环量面密度可以写成：在给定点M处，R在任一方向上的投影，给出该方向上的环量面密度。即：的方向为点M处环量面密度取得最大值
5、的方向，其模即为环量面密度的最大值。从而就是要找的那个向量。称该向量为向量场在点M处的旋度。设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:Stokes公式的物理解释:为向量场A沿的环流量向量场A产生的旋度场穿过的通量例6.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.的外法向量,计算解:例7.设四、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.则则高斯公式与斯托克斯公式可写成:斯托克斯公式场论中的三个重要概念设梯度:散
6、度:旋度:则思考与练习则提示:三式相加即得
