微分中值定理及其应用习题课

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时间:2018-05-17

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1、微分中值定理及其应用习题课一基本定理1).罗尔中值定理若函数满足如下条件:(ⅰ)在闭区间上连续;(ⅱ)在开区间内可导;(ⅲ),则在内至少存在一点,使得注罗尔中值定理主要用于说明有根,关键是要找两点使这两点函数值相等.注介值定理主要用于说明有根,关键是要找两点使这两点函数值异号.(1)证有根(2)证有根(3)证根唯一的方法(4)证有根,经常对用罗尔定理.(5)证至少存在一点,使含的代数式37成立的常用方法是构造辅助函数,然后对辅助函数用罗尔定理.2).拉格朗日中值定理若函数满足如下条件:(ⅰ)在闭区间上连续;(ⅱ)在开区间内可导,则在()内至少存在一点,使得.注看到函数增量,或隐

2、含增量(含条件),经常要考虑拉格朗日中值定理;看到导数有界,经常要考虑拉格朗日中值定理.3).柯西中值定理设函数和满足(i)在上都连续;(ii)在上都可导;(iii)不同时为零;(iv)则存在,使得.注看到两个函数的增量,或两个函数导数之比,经常要用柯西中值定理.4).泰勒中值定理若函数在点存在直至阶导数,则有37.若函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得.注看到有二阶以上导数,经常要考虑泰勒中值定理.注对中值定理为了帮助读者记忆,给出以下口诀一阶有界用拉格,二阶以上想泰勒;中值等式罗拉柯,辅助函数逃不脱;函数增量想拉柯,易积结论用

3、阿罗;多个中值多次用,把握特征心自得.二疑难解答1.极值与最值有什么区别与联系?答1)极值是一个局部概念,因为是函数的极值,是与的某邻域上的函数值比较而言的;而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念.2)闭区间上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值(常函数除外),但可能无极值(因为极值点必在区间的内部,不能是区间的端点,而最值有可能在端点取).即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若(是函数的最值,则不可能是极值;若()是函数的最值,则一定是极值.即(最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即

4、为最值).3)在区间内部的(非端点的)最值点是极值点,且最大值点是极大值点,最小值点是极小值点.372.极值点与稳定点的关系,极值点可能是哪些点?答:1)由费马定理可知,可导的极值点是稳定点.2)稳定点未必是极值点.例如,为它的稳定点(因为),但由的图像和极值点的定义易知不是的极值点.3)导数不存在的点也可能是函数的极值点.例如由的图像和极值的定义易知在取得极小值,但在不可导,即极值点未必是稳定点.极值点有可能是稳定点和不可导的点.3.导函数的介值定理有什么作用?答:据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数,那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数,如具有

5、第一类间断点的函数.4.罗尔定理有三个条件,缺少其中一个条件罗尔定理是否成立?如果不成立,能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件?答罗尔定理有三个条件,缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立.例如函数在上不满足罗尔中值定理的条件(1),因为在点处不连续.由于,所以在开区间内找不到使得等式成立的点,如图,无水平切线(图1);函数,在上不满足罗尔中值定理的条件(2),因为在点处不可导.由于所以在开区间内找不到使得等式成立的点,如图,无水平切线(图2).函数.在上不满足罗尔中值定理的条件(3),因为在区间端点的函数值不相等,即.由于,所以在开区间内找不到使得等式成立的点,如图,37无水平

6、切线(图3).尽管如此,但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件.例如,函数在不连续,在不可导,,但,上点都满足.5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为在上可导?答可以,但条件加强了,就排斥了许多仅满足三个条件的函数.例如函数,yy=f(x)03x,显然时,函数不可导(是初等函数,在处没有定义,则原函数在不可导),即不符合加强条件;但它满足定理的三个条件,有水平切线(图)6.罗尔定理结论中的值唯一吗?答不一定唯一,可能有一个,几个,甚至无限多个.例如37在上满足罗尔定理的三个条件.显然,在(-1,1)内存在无限多个使得.7.拉格朗日公式有哪些等价表示形式?答①;注,令,则有

7、,,于是有②;令,则有③注值得注意的是,拉格朗日公式无论对于,还是都成立,而则是介于与之间的某一定数8.试问应用导数极限定理时,应当注意哪些问题?答:(1)在应用导数极限定理时,如果只注意存在的条件,而忽视了在点的某邻域内连续,则会导致错误的结论,例如在中可导,且,于是有,若认为存在,且,这就导致错误结论,事实上,因为37在点0处不连续,当然不可导.(2)下面是单侧导数极限定理,证明方法与导数极限定理相似.1)设在点的右邻域内连续,在内可导,且极限存在,则在点右可导,且.2)设在点的左邻域内

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