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1、微分中值定理及其应用习题课一基本定理1）．罗尔中值定理若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续；（ⅱ）在开区间内可导；（ⅲ）,则在内至少存在一点,使得注罗尔中值定理主要用于说明有根，关键是要找两点使这两点函数值相等．注介值定理主要用于说明有根，关键是要找两点使这两点函数值异号．（1）证有根（2）证有根（3）证根唯一的方法（4）证有根，经常对用罗尔定理．（5）证至少存在一点，使含的代数式37成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理．2）．拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续；（ⅱ）在
2、开区间内可导，则在（）内至少存在一点，使得．注看到函数增量，或隐含增量（含条件），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理．3）．柯西中值定理设函数和满足（i）在上都连续；(ii)在上都可导；(iii)不同时为零；(iv)则存在，使得．注看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理．4）．泰勒中值定理若函数在点存在直至阶导数，则有37．若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得．注看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理．注对
3、中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒；中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱；函数增量想拉柯，易积结论用阿罗；多个中值多次用，把握特征心自得．二疑难解答1．极值与最值有什么区别与联系？答1）极值是一个局部概念,因为是函数的极值,是与的某邻域上的函数值比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念．2）闭区间上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）．即使有极值,也可能不
4、止一个,极小值也可能大于极大值．因此若(是函数的最值,则不可能是极值;若（）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）．3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点．372．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点．2）稳定点未必是极值点．例如，为它的稳定点（因为），但由的图像和极值点的定义易知不是的极值点．3）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例
5、如由的图像和极值的定义易知在取得极小值，但在不可导，即极值点未必是稳定点．极值点有可能是稳定点和不可导的点．3．导函数的介值定理有什么作用？答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数．4.罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？答罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如函数在上不满足罗尔中值定理的条件(1)，因为在点处不连续．由于，所以在开
6、区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图1)；函数，在上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为在点处不可导．由于所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图2)．函数．在上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为在区间端点的函数值不相等，即．由于，所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，37无水平切线(图3)．尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件．例如，函数在不连续，在不可导，，但，上点都满足．5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为在上可导？答可以，但条件加强了，就排斥了许多
7、仅满足三个条件的函数．例如函数，yy=f(x)03x，显然时，函数不可导（是初等函数，在处没有定义，则原函数在不可导），即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线(图)6.罗尔定理结论中的值唯一吗？答不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个．例如37在上满足罗尔定理的三个条件．显然,在(-1,1)内存在无限多个使得．7．拉格朗日公式有哪些等价表示形式？答①；注，令，则有，，于是有②；令，则有③注值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数8．试问应用导数极限定理时，应当注意
8、哪些问题？答：（1）在应用导数极限定理时，如果只注意存在的条件，而忽视了在点的某邻域内连续，则会导致错误的结论，例如在中可导，且，于是有，若认为存在，且，这就导致错误结论，事实上，因为37在点0处不连续，当然不可导．（2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似．1）设在点的右邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点右可导，且．2）设在点的左邻域内
