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1、二、应用习题课一、微分中值定理微分中值定理及其应用拉格朗日中值定理一、微分中值定理1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理2.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用逆向思维找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.例1.设函数在内可导,且证明在内有界.例1.设函数在内
2、可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例3.且试证存在例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即例5.设函数f(x
3、)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(03考研)试证必存在例5.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例6.设函数在上二阶可导,且证明例6.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得二、微分中值定理的应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变
4、化率;证明不等式;研究方程实根等.例8.证明在上单调增加.例8.证明在上单调增加.证:令在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,故当x>0时,从而在上单调增.得例9.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.思考:若题中改为其它不变时,如何设辅助函数?例9.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其它不变时,如何设辅助函数?例10.求数列的最大项.例11.证明思考:证明时,如何设辅助函数更好?提示:例10.求数列的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大
5、值.又因中的最大项.极大值列表判别:例11.证明证:设,则故时,单调增加,从而即思考:证明时,如何设辅助函数更好?提示:例12.设且在上存在,且单调递减,证明对一切有例12.设且在上存在,且单调递减,证明对一切有证:设则所以当令得即所证不等式成立.例13.例13.证:只要证利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.例14.证明当x>0时,证:令则法1由在处的二阶泰勒公式,得故所证不等式成立.与1之间)法2列表判别:即法3利用极值第二判别法.故也是最小值,因此当时即例15.求解法1利用中值定理求极限解法2利用泰勒公式解法3利用罗必塔法则例15.求解法1利用中值定理求极限原式解法2利用泰
6、勒公式令则原式解法3利用罗必塔法则原式思考与练习1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A
