微分中值定理及其应用习题课(整理).pdf

《微分中值定理及其应用习题课(整理).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、微分中值定理及其应用习题课一基本定理1）．罗尔中值定理若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间a,b上连续；（ⅱ）f在开区间ab,内可导；（ⅲ）f(a)f(b),则在(a,b)内至少存在一点,使得f()0注罗尔中值定理主要用于说明fx0有根，关键是要找两点使这两点函数值相等．注介值定理主要用于说明fx0有根，关键是要找两点使这两点函数值异号．（1）证fx0有根法1用介值定理（若此时易找两点使函数值异号）.法2将fx0转化为fxgx0,对gx用罗尔定理若很容易求出gx，使fxgx，且对g

2、x很容易找两点使函数值相等.法1费马定理（易找极值点或内部最值点）,（2）证fx0有根法2罗尔定理易找两点使函数值相等.法1单调性,（3）证根唯一的方法法2反证法+罗尔定理.nn1（4）证fx0有根，经常对fx用罗尔定理．（5）证至少存在一点，使含的代数式nGabfa,,,fb,,f,ff0成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理．2）．拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间[a,b]上连续；（ⅱ）f在开区间ab,内可导，fb()

3、fa()则在（a,b）内至少存在一点，使得f()．ba1注看到函数增量，或隐含增量（含条件fa0），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理．3）．柯西中值定理设函数f和g满足（i）在[a,b]上都连续；(ii)在(a,b)上都可导；(iii)f(x)和g(x)不同时为零；(iv)g(a)g(b)f()fb()fa()则存在(a,b)，使得．g()gb()ga()注看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理．4）．泰勒中值定理若函数f在点x存在直至n阶导数，则有0()nf()x002f()

4、xnnfx()fx()0fx'()(0xx0)(xx0)(xx0)oxx(0)．2!n!若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)内存在(n1)阶导函数，则对任意给定的x,x[a,b]，至少存在一点(a,b)，使得0(n)(n1)f(x0)2f(x0)nf()n1f(x)f(x)f'(x)(xx)(xx)(xx)(xx)0000002!n!(n1)!注看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理．注对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒；中值等式罗拉柯，辅助函数逃

5、不脱；函数增量想拉柯，易积结论用阿罗；多个中值多次用，把握特征心自得．二疑难解答1．极值与最值有什么区别与联系？答1）极值是一个局部概念,因为fx()是函数fx()的极值,是与x的某邻域Ux上的函数值fx()000比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念．22）闭区间ab,上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点x必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）．即使有0极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值．因此若fa(是函数的最值,则fa不可能是极值;若fx()（x(

6、,)ab）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是00最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）．3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点．2．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点．332）稳定点未必是极值点．例如fx()x，x0为它的稳定点（因为f(0)0），但由fx()x的3图像和极值点的定义易知x0不是fx()x的极值点．3）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如由fx()x的图像和极值的定义易知fx()x在x0取得

7、极小值，但在x0不可导，即极值点未必是稳定点．极值点有可能是稳定点和不可导的点．3．导函数的介值定理有什么作用？答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数．4.罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？答罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如xx,01,函数fx()在[0,1]上不满足罗尔中值定理的条件(