9第九讲 定积分的证明问题与应用

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1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第九讲　定积分的证明题与应用课时数2教学目的通过教学使学生掌握有关定积分的存在性问题与不等式的证明方法，掌握微元法、面积、体积及弧长的计算。重点难点1不定积分有关的的存在性问题的证明；2不定积分有关的的不等式的证明；3．面积、体积、弧长的计算。教学提纲第九讲　定积分的证明题与应用一、定积分的性质二、定积分证明题（１）存在性证明（２）积分表示的不等式的证明三、定积分应用1．微元法2．面积（1）直角坐标情形（2）极坐标情形3．体积4．弧长1）y=f(x

2、)在区间[a,b]上可导，且连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长，是弧长公式。2）参数方程（）在上连续，则7教学过程与内容教学后记第九讲　定积分的证明题与应用一、定积分的性质（１）当时，.（２）线性性：（３）区间可加性：（４）不等性：上，则.　　　　　　　.（５）积分中值定理：如果函数，在闭区间上连续，在上不变号，则在积分区间上至少存在一个点，使.当时二、定积分证明题1.存在性证明例1:在上连续，在上可导，又，证明存在，使得。【分析】凡是微分中值定理中又涉及积分中值定理的，应首先应用积分中值定理获取一些特定点的函数值信

3、息，再用微分中值定理证明。【证明】在上连续，在上使用积分中值定理得，存在，，即，在上使用罗尔中值定理知存在，使得。例２:在上连续，在上二阶可导，又，，证明存在，使得。7【分析】先用积分中值定理知存在，，三次使用罗尔定理得证。【证明】略例３:在上连续，在上二阶可导，证明存在，使得。例４:在上连续，在，，证明存在不同的点，使得。【证】令，，　　＝０　　存在使得，　………,两次使用中值定理得证。2.积分表示的不等式的证明例５:比较大小【证明】在上，，例６:设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任

4、何a,有证：，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且，由于时，，因此，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到，而7=，故F(1)=0.因此时，，由此可得对任何，有例7:设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足，xÎ[a,b)，.证明：.【证明】令F(x)=f(x)-g(x)，，　　由题设G(x)³0，xÎ[a,b]，G(a)=G(b)=0，.　　从而，　　由于G(x)³0，xÎ[a,b]，故有，即.因此.例８:设f(x)在上连续，且单调减小，，证明，当时，　　【证明】令　　………….三、定积分应用1．微元法许多可以

5、化为求在区间[a,b]上的定积分的实际问题，都可以用这种方法处理，这个方法称为：元素法。其步骤如下：2．面积（1）直角坐标情形7设图形由，（a

6、0：过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积。【解】设切点为切线方程Q切点在切线上，∴，∴切线方程：。4弧长(1)y=f(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长，是弧长公式。(2）参数方程（）在上连续，则例1:求曲线的全长（）【解】令=dx=2tdt当x=0时t=0节当x=1时t=1则=7=1+。7