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1、第三章第三节定积分的计算方法和解证明题的方法一.方法指导1.计算定积分的基本公式(P164,1)(1)牛顿—莱布尼兹公式则注意使用公式的条件思考:下列计算是否正确?为什么?第一换元法第二换元法代换且单调.注意:换元必换限,配元不换限.(2)换元积分公式下列换元是否正确?为什么?(令)(P478)(令)(3)分部积分公式注意:边积边代限使用此公式的原则及经验与不定积分相同2.特殊形式定积分的计算(P165,2,3)(1)分段函数的定积分方法:分段积分后求和.若被积函数为复合函数,应先换元后积分.例如,设,
2、求提示:令则原式=方法:先去绝对值符号再分段积分.(2)被积函数含绝对值符号的积分技巧:令绝对值内的表达式为0,解方程,求出分界点.(3)被积函数中含有“变限积分”的积分方法:“变限积分”,用分部积分法.例如,令(4)对称区间上的积分方法:考察被积函数是否有奇偶性;或用负代换:或直接用公式:偶函数奇函数例如,=1(5)被积函数的分母为两项,方法:分子为其中一项(令)则例如,若能选择合适的代换,使被积函数的分子换为另一项,其它都不变,则积分值等于积分区间长的一半.(6)含有三角有理式的积分方法:通过换元,
3、把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分.一般换元方法是:积分区间对称实行负变换;积分区间为令例如,3.定积分有关命题的证明方法(1)证明定积分等式的常用方法换元法适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件的命题;分部积分法适用于被积函数中含有或变限积分的命题;辅助函数法适用于证明积分限中存在一点或使等式成立的命题;泰勒公式法适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导函数的命题(2)证明定积分不等式的常用方法直接利用不等式定积分的比较定理;估值定理;初等不等式:柯西不等式:设辅助函数适用于被积函数连续,但不知
4、是否可导的命题利用中值定理或牛-莱公式适用于被积函数一阶可导,且至少一个端点的函数值为0的情形例如,已知被积函数则可根据需要变形为或利用泰勒公式适用于被积函数二阶或二阶以上可导,且又知最高阶导数正负号的命题4.广义积分的计算法无穷区间上的广义积分无界函数的广义积分常义积分的极限两个常用来比较的广义积分:说明:(1)有时通过换元,广义积分和常义积分可以互相转化.例如,(令)(令)(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.例如,P178例13注意:主值意义下广义积分存在
5、不等于通常意义下广义积分收敛.(3)有时需考虑主值意义下的广义积分.其定义为(c为瑕点)二.实例分析例1.求(P167例2(4))解:令则令例2.求(P167例2(3))解:令则令例3.求解:I例4.设解:求(令)注意+,–号!例5.设解:时,而求令则I例6.设解:在内满足:试计算(P172例6)先求f(x)在上的表达式.且当时,例7.设解:(1)在上连续,且(1)证明(2)利用(1)计算(常数),令（P201习17）例7.设(2)在上连续,且(1)证明(2)利用(1)计算(常数),令得利用(1)得例8
6、.计算下列积分解:(1)(P176例11(2))(P174例9(2))原式=(2)令则原式=奇函数例9.求解:令则例10.求解:令,即则例11.求解:令由再令得于是(P176例12(1))例12.设解:且讨论广义积分的敛散性.设在[0,1]上的最大值M,最小值为则当时,收敛,也收敛;当时,发散,也发散.例13.若解:令试证:则(P166公式④)并计算(P175例10(2))又对右端第二个积分令计算例14.设证:证明左边令(P179例15)第二项令=右边例15.设证:证明左边令令=右边例16.设证:将证明
7、有在处展成一阶泰勒公式,在x与t之间两边对t在[a,b]上积分故*例17.设证:证明由已知条件,可知存在使不妨设则存在使因此故可任意小,由夹逼准则知
