《定积分的计算》PPT课件.ppt

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1、第二节定积分的计算一.微积分学基本定理变上限定积分设在上连续称为变上限定积分.定理6.1(微积分学基本定理或原函数存在定理)如果在上连续,则是在上的一个原函数,即有证例1设求解例2设求解例3设求解和复合而成例4设求解变上限求导总结(1)上限被积函数在上限处的值(2)上限被积函数在上限处的值乘以上限的导数(3)下限变交换上下限加负号再求导(4)上下限变利用区间可加性拆开再求导例5求极限解例6求由方程所确定的隐函数的导数.解方程两边作为的函数同时求导所以二.牛顿—莱布尼兹公式定理6.2如果在上连续,是在上的一个原函数,则证因所以令则所以再令得例6求解例7求解原

2、式例8,求设解计算解注这是错误的,因为定理要求连续.三.定积分的换元积分法第一类换元积分(凑微分)法具体做题步骤:证例9求解令解注不写出新变量时,积分限不换!第二类换元积分法具体做题步骤:证例10求解原式令则当时当时例11求解原式令则当时当时例12证明证令则当时当时故定积分等式的证明(2)作变量替换:看两端积分限或被积函数令(1)将某一端改换自变量符号(3)如果两端积分限均为:则令则令则令(4)定积分是常数及定积分与积分变量符号无关常被应用补例若是定义在内周期为的连续函数,证明证令则当时当时故例13(奇偶函数在对称区间上的积分)设在上连续,求证:(1)如果

3、为奇函数,则(2)如果为偶函数,则证令则当时当时故命题成立.例14求解原式例15求解原式例16设在内连续,若求解令四.定积分的分部积分法定理6.4如果及在上导函数连续则证因所以则故例17求解原式例18求解原式(2003年考研真题4分)补充例题解例19求解原式故原式设与在上的导数连续,且证明:对任意有(2005年考研真题8分)补充例题证左边例20求解令则例21设连续,且已知求的值.解令则当时时故故故上式两端对求导,得即令得即例22设连续,且求的值.解令则当时时故故上式两端对求导,得上式两端对求导,得即令得即例23设且在上可导,证明:存在使证明:作辅助函数则故

4、在上满足罗尔定理,存在使而存在使故设与在上连续,且满足证明:(2004年考研真题8分)证明:故