定积分及其应用(精讲精练)

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1、第5章定积分及其应用学卑目标理解定积分的概念,学握定积分的基本性质.掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分利不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念，定积分在口然科学和实际问题中冇着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微枳分基木定理，授后讨论定积分在儿何、物理上的一些简单应用.5.1定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形

2、的面积在初等数学中，我们已经学会计算多边形和圆的而积，至于任意曲边所围成的平面图形的面积，只有依赖于1111边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形，就是在直角坐标系中，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=/(兀)所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.///zaobx(c)(b)图5.1现在求/(X)>0时，在连续区间［⑦创上I韦I成的曲边梯形的面积A(如图5.1(a),(b)所示)，用以往的知识没冇办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间［。,甸内任意插入n一1个分点：a=x

3、0<

4、积Z和斤个小矩形而积Z和近似等于曲边梯形Z和A,即A=AA,+AA2+…+AA“=f(6)心］+f©)心2+…+/g)山”/=1(3)取极限令2二max{Ax,},当分点斤无限增多且久tO时，和式£/($)»的极限便是

5、11

6、边1如苗梯形的血积A,即4=密£怡)3・i=l1.变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t的连续函数v=v(r),求物体在时刻r=T,到/=耳间所经过的路程3.我们知道，匀速直线运动的路程公式是：S=vt,现设物体运动的速度y是随时间的变化而连续变化的，不能百接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割——把整个运动时间分成〃个时

7、间段在时间间隔［7］,笃］内任意插入〃-1个分点:7；=tQ

8、刁込1分成〃个小区间：［/()站】，览，切，…山"1，…，匕-"I，笫，个小区间的长度为电=/厂(i=12…必第i个时间段内对应的路程记作AS,(/=1,2,••劝•(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速玄线运动的路程在小区间［心比］上任取一点&・(i=1,2,•••«),用速度)近似代替物体在时间m上各个时刻的速度,则有△S产讥纟)&应=1,2,・・‘).(3)求和——求n个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即S=AS［+A52hFAS”=)△『

9、i+v(^2)Az2hFv(^z-)n=y)△心•Z=1(4)取极限令2=max{Az/},当分点的个数弘无限增多J=UtO时，和式$>(&)△_的极限便是所求的路程S.即S=limyv(£)Ar.从上面两个实例可以看岀，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的,即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题•类似这样的实际问题还冇很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的木质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1设函数/(兀)在区间［必］上有定义，任取分点a=}

10、}