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1、6.1定积分的几何应用6.2定积分在经济问题中的应用第6章定积分的应用结束2.以点x处的函数值为高,以[x,x+dx]为底的矩形面积做为△A的近似值,其中f(x)dx称为面积微元,记为,于是面积为1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间[a,b],在区间上任取一小区间并记为.此方法称为微元法或积分元素法.6.1.1微元法:6.1定积分的几何应用以曲边梯形面积为例,如图曲边梯形.设函数在区间上连续,,求由曲线及直线所围成的图形的面积.1.直角坐标下平面图形的面积6.1.2用定积分求平面图形的面积(
2、2)以为被积表达式,在区间作定积分就是所求图形的面积.(1)在区间上任取小区间,设此小区间上的面积为,它近似于高为,底为的小矩形面积,从而得面积微元为分析在这个公式中，无论曲线在x轴的上方或下方都成立，只要在曲线的下方即可。例1求由曲线所围成的图形的面积A。解两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为[0,1]面积微元所求面积为面积为,则近似于高为dy,底同理，设函数在区间上连续，为的小矩形面积,在区间上任取小区间,设此小区间上的求由曲线及直线所围成的图形的面积.于是所求面积为从而得面积微
3、元为解由解得交点A(2,-1),B(8,2)例2求抛物线与直线所围成的图形的面积.A(2,-1),B(8,2)取y为积分变量,于是,所求面积为:且求此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积.(2)极坐标下平面图形的面积设曲线的极坐标方程在上连续,在区间上任取一小区间,设此小区间上曲边扇形的面积为,则近似于半径为,中心角为的扇形面积,从而可得面积为从而得到面积微元为例3求心形线所围成的面积.解当从0变到时,得的图形为上半部分,心形线所围图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即例4计算阿基米德螺线上对应于从0变到
4、的一段曲线与极轴所围成图形的面积.解面积微元为于是,所求面积为6.1.3用定积分求旋转体的体积1.平行截面面积已知的立体体积设有一立体价于过点且垂直于轴的两平面之间,求此立体的体积.如图,介于与之间的薄片的体积近似等于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的体积,即体积微元为A(x)即对截面积A(x)从a到b求积分!于是所求体积为2.旋转体体积设,及y=0所围图形绕x轴旋转,求所得旋转体的体积.选取为积分变量,其变化区间为,过点x做垂直于x轴的平面,截得旋转体截面是半径为的圆,其截面积为从而所求旋转体体
5、积为例4计算由椭圆绕x轴旋转一周所成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解例5解6.2定积分在经济中的应用例8解
