定积分在几何上的应

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1、定积分在几何上的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长四、小结第二节(ApplicationoftheDefiniteIntegraltoGeometry)7/4/20211第六章定积分的应用曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积1.直角坐标情形图6-2-1（1）图6-2-1（2）7/4/20212第六章定积分的应用解两曲线的交点面积元素选为积分变量7/4/20213第六章定积分的应用解解方程组选为积分变量7/4/20214第六章定积分的应用于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？7/4/20215第六章定积分

2、的应用解解方程组选为积分变量7/4/20216第六章定积分的应用7/4/20217第六章定积分的应用如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积7/4/20218第六章定积分的应用解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．图6-2-57/4/20219第六章定积分的应用面积元素曲边扇形的面积2.极坐标情形设由曲线)(qj=及射线aq=、bq=围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(qj在],[ba上连续，且0)(³qj．图6-2-67/4/202110第六章定积分的应用解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积图6-2-77/4/202111第六章定积分

3、的应用解利用对称性知例6求心形线)cos1(q+=a所围平面图形的面积)0(>a.图6-2-87/4/202112第六章定积分的应用旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积图6-2-97/4/202113第六章定积分的应用xyo旋转体的体积为图6-2-107/4/202114第六章定积分的应用解直线方程为图6-2-117/4/202115第六章定积分的应用图6-2-117/4/202116第六章定积分的应用解图6-2-127/4/202117第六章定积分的应用图6-2-137/4/202

4、118第六章定积分的应用解图6-2-14(1)BCA7/4/202119第六章定积分的应用图6-2-14(2)BCA7/4/202120第六章定积分的应用补充利用这个公式，可知上例中7/4/202121第六章定积分的应用2.平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积图6-2-157/4/202122第六章定积分的应用解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积图6-2-167/4/202123第六章定积分的应用解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积图6-2-17

5、7/4/202124第六章定积分的应用三、平面曲线的弧长图6-2-187/4/202125第六章定积分的应用弧长元素弧长1.直角坐标情形图6-2-197/4/202126第六章定积分的应用解所求弧长为图6-2-207/4/202127第六章定积分的应用解7/4/202128第六章定积分的应用曲线弧为弧长2.参数方程情形7/4/202129第六章定积分的应用解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长7/4/202130第六章定积分的应用曲线弧为弧长3.极坐标情形7/4/202131第六章定积分的应用解例15求极坐标系下曲线的长.7/4/202132第六章定积

6、分的应用四、小结1.平面图形的面积（直角坐标、参数方程、极坐标）；2.旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周7/4/202133第六章定积分的应用3.平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式7/4/202134第六章定积分的应用1.求由及所围图形的面积.2.求由及所围图形的面积.3.求星形线所围图形的面积.练习题7/4/202135第六章定积分的应用7/4/202136第六章定积分的应用作业P284-2862(1)(2);3;4;9;12;21;22.练习题答案7/4/20213

7、7第六章定积分的应用