教育论文变换角度，巧妙解题

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2、究问题的过程中有意去做与习惯思维方向完全相反的探索，它是进行数学思维的重要方法。　　[关键词]数学教学角度思考变换　　　　有些数学问题，如果仅仅从某个固定的角度去思考，往往会一筹莫展。遇到这种情况，要引导学生及时改变思考问题的角度，从问题的侧面或反面去分析，常可使人茅塞顿开，走出“山穷水尽”的困境，找到“柳暗花明”又一村的快感。经常引导学生从各个角度、不同方向、运用多种观点去分析，思考数学问题，可使学生思路开阔。那么，在数学教学中应怎样激发学生思维的积极性、变通性、独创性呢？笔者就如何变换思考问题的角度，巧妙解题略谈浅见，以就教于广大同行。　　　　一、正面与反面的变换　　　　“十•

3、一”国庆节，苏步青学校的七年级有100名同学和部分老师参加文艺演出。同学们热情高潮，都提前来到会场，有一位细心的同学观察到：老师们到会时，都与第一排的同学一一握手，向同学们问好。其中第一个到会的老师与第一排的全部同学握手，第二个到会的老师只差1个同学没有握过手。如此到最后一个到会的老师与9个同学握过手。已知老师与第一排的同学共有20人，你能算出到会的老师与第一排的同学各有多少人吗？　　分析：不妨从“最后一个到会的老师与9个同学握过手”入的手，进行逆向思考，探究老师人数与第一排学生人数间的关系。　　解：由题意，最后一个到会的老师与9个同学握过手，那么倒数第二个到会的老师与10个同学握过手，倒数第

4、三到会的老师与11同学握过手，依次直到第一到会的老师与全部同学握过手，从而可知，同学的人数比老师的人数多8个人，所以到会的老师人数为（20－8）÷2=6（人）。　　评注：有时逆向思考问题，往往会给解题带来方便，本题如果从第一位老师入手，也可以这样来考虑：设老师共有x人，则第1个到会的老师与（20－x）个同学握过手，第2个到会的老师和（19－x）个同学握过手，第3个老师和（18－x）个同学握过手，……第x个老师和[20－（x－1）－x]个。即（21－2x）个同学握过手，于是有21－2x=9，解得x=6（人）。　　　　二、常量与变量的变换　　　　已知实数a，b，c满足a≠b，且2007(a-b)

5、+2007(b-c)+(c-a)=0，求(c-a)(c-a)(a-b)2的值。　　分析：显然求a，b，c的值是不可能的，同样直接寻求a，b，c的关系式也很困难。这时我们不妨将常量和变量换一下角色，将常量设为变量，将变量设为常量，即设x=2007，则2007=x2，原等式就成了关于x的一元二次方程，可用韦达定理解之。　　　　解：设x=2007，原等式就成了关于x的一元二次方程；　　　　(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0　　　　因为(a-b)+(b-c)+(c-a)=0，　　　　所以方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0必有一根为1。　　　　即x=1或x=2007。

6、　　　　由韦达定理，得　　　　三、已知与未知的变换　　　　（第三届“祖冲之杯”初中数学竞赛题）　　　　求正整数a，使得关于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0一个整数解。　　分析：若把x当作未知数，解关于x的方程，那么将会相当麻烦；这时我们可以考虑将a当作未知数，x当作已知数，将原方程整理为关于a的一次方程(x+2)2a=2x+7，这就向成功的目标迈进了一大步。　　解：将原方程整理为关于a的一次方程(x+2)2a=2x+7，　　　　∵x≠－2，∴a=2x+7(x+2)2　　　　∵a为正整数，∴a≥1　　　　∴2x+7(x+2)2≥1，解得－3≤x≤1　　　　∴x可以取整数－

7、3，－1，0，1　　　　对应a的值为1，5，74，1　　　　∴a=1或5　　　　经检验知，a=1或5符合要求。　　　　又解：将原方程整理为关于a的一次方程(x+2)2a=2x+7　　　　∵x≠－2，∴a(x+2)=2x+7(x+2)=2+3x+2　　　　由（x+2）︳3可得x+2=±1或±3。　　　　注意到a为正整数，∴x=1或－1　　　　∴a=1或5。　　　　经检验知，a=1或5符合要求。