有限集上两极拓扑个数的探讨

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1、有限集上两极拓扑个数的探讨洪彩霞（福建信息职业技术学院，福建福州）摘要：通过对有限集上满足maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的个数进行研究，从而解决了它的个数问题。关键词：有限集；单拓扑；自同余拓扑1、介绍《云南师范大学学报》1991第4期上发表郭志勇的文章“有限集上几种拓扑概念及性质”中曾提出“有限集Xn上使maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的拓扑T有多少”这样一个问题，本文对此进行了一番探讨，得到如下结论：有限集Xn上使maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的拓扑T（为了方便起见，本文中称此

2、种拓扑为两极拓扑）至少有Cnm（2n-2m+1-2n-m+1+5）个。2、证明我们引入：§1.几个定义设Xn是n个元素的集合：定义1（单拓扑）：设T是Xn上的一个非平凡拓扑，若对任何AT;AXn,,都有Xn-AT，称T是Xn上的一个单拓扑。注：易见，若Xn上有单拓扑存在，则n2。定义2（余拓扑）：设T是Xn上的拓扑，则Tc={Xn-A∣AT}是Xn上的一个拓扑，称为Xn上T的余拓扑。若Xn上的拓扑T满足T=Tc，则称T是Xn上的一个自同余拓扑。定义3（maxacT）：是指包含在有限集Xn上的拓扑T中的最大自同余拓扑。注：易见，

3、maxacT＝T∩Tc。定义4（minacT）：若T是Xn上的拓扑，则包含了T的Xn上的最小自同余拓扑称为minacT。注：易见，TTc为minacT的一个基。§2.几个引理引理1：设T是Xn上的拓扑，Xn={a1,a2,…an}，则<1>maxacT={,Xn}T为单拓扑<2>minacT为离散拓扑aXn，{a}TTc<3>maxacT={,Xn}且minacT为离散拓扑T为单拓扑且正整数m，1m﹤n，使得{aik}T(1km);而{aij}Tc(m+1jn)，这里{ai1，ai2，…ain}=Xn。证：<1>，<2>由定义

4、易证，下证<3>必要性：若maxacT={,Xn}且minacT为离散拓扑，则由<1>，<2>可知；T为单拓扑，且对aiXn(1in)，有{ai}TTc，从而要么{ai}T,要么{ai}Tc，我们说T不可能含有所有的{ai}（i＝1，2，…n）,否则,T为离散拓扑，不是单拓扑;Tc也不可能含有所有的{ai}（i＝1，2，…n）,否则,Tc为离散拓扑，从而T不是单拓扑。故，1m﹤n使得{aik}T(1km)，而{aij}Tc（m＋1jn），这里{ai1，ai2，…ain}=Xn。充分性：若T为单拓扑，且1m﹤n，使得{aik}T

5、(1km);而{aij}Tc(m+1jn)，这里{ai1，ai2，…ain}=Xn。则由<1>可知maxacT={,Xn}，且显然有，ai（1in），{ai}TTc，由<2>可知，minacT为离散拓扑。综上所述，<3>成立。设Xn={a1,a2,…an}（n2），从Xn中任意取出m（1m

6、中元素的个数为（2m-2）ⅹ（2n-m-2）=2n-2m+1-2n-m+1+4。引理2：T={,Xn}构成Xn上使maxacT为平凡拓扑而minacT为离散拓扑的拓扑。证：<1>、XnT<2>A.BT若A、B中有一个为或Xn，则显然有ABT，ABT，若A、B，显然AB,AB,从而ABT,ABT；若A、B，则Ax,Bx，A、B,使得A=Xn-A,B=Xn-B，所以AB＝（Xn-A）（Xn-B）=Xn-（AB）（因为ABx，且AB），AB=（Xn-A）（Xn-B）＝Xn-（AB），若AB＝，则AB＝XnT，若AB≠,则AB，AB,

7、总之ABT，ABT；若A,B分属，不妨设A,B,则Bx,B,使得B=Xn-B=X(x-B)，所以A（Xn-B）=AT,AB=A[X(x-B)]=X(x-B)=BT总之A.BT,ABT,ABT由<1>，<2>以及Xn为有限集可知T为Xn上的拓扑。<3>T为单拓扑，因为AT，A≠,A≠Xn则A或A若A则AX所以Xn-A=(X-A)x,Xn-A,若A，则Bx,B,使得A=Xn-B，所以Xn-A=B，Xn-A,Xn-A,从而AT，A≠,A≠Xn，均有Xn-AT,故T为单拓扑，从而maxacT为平凡拓扑。<4>mimacT为离散拓扑，因

8、为由T的构造可知，X的所有单点集均属于从而属于T;而TC={Xn-A

9、AT}={,Xn}，故x的所有单点集均属于，从而均属于TC，又由于Xn=Xx，所以Xn的所有单点集均属于TTC，故minacT为离散拓扑。综合<1><2><3><4>知引理2成立。任取D则AD，BD，AD≠