有限集上两极拓扑个数的探讨.doc

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1、有限集上两极拓扑个数的探讨洪彩霞（福建信息职业技术学院，福建福州350003）摘要：通过对有限集上满足maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的个数进行研究，从而解决了它的个数问题。关键词：有限集；单拓扑；自同余拓扑1、介绍《云南师范大学学报》1991第4期上发表郭志勇的文章“有限集上几种拓扑概念及性质”中曾提出“有限集Xn上使maxacT为平凡拓扑,minacT为离散拓扑的拓扑T有多少”这样一个问题，本文对此进行了一番探讨，得到如下结论：有限集&上使maxacT为平凡拓扑，minacT为离散拓扑的拓扑

2、T（为了方便起见，本文中称此种拓扑为两极拓扑）至少有£Cnm（2n-2m+1-2n'，n+，+5）个nm=12、证明我们引入：§1.几个定义设&是n个元素的集合：定义1（单拓扑）：设T是Xn上的一个非平凡拓扑，KAGT;Axn,（/）MXn-AT,称T是Xn上的一个单拓扑。注：易见，若Xn上有单拓扑存在，则。定义2（余拓扑）：设T是Xn上的拓扑，则Tc={Xn-A

3、AeT}是X.上的一个拓扑，称为X.上T的余拓扑。若Xn上的拓扑T满足T=Tc，则称T是Xn上的一个自同余拓扑。定义3（maxacT）：是指包含在

4、有限集X“上的拓扑T中的最大自同余拓扑。注：易见，maxacT=TATco定义4（minacT）：若T是X“上的拓扑,则包含了T的X.上的最小自同余拓扑称为minacTo注：易见，TuTc为minacT的一个基。§2.几个引理引理1：设T是Xn上的拓扑,Xn={a1a2;-an）,则<1>maxacT={0,Xn}OT为单拓扑<2>minacT为离散拓扑OVaeXn,{a}eTuTc<3>maxacT={0,X*}且minacT为离散拓扑OT为单拓扑且3正整数in,1

5、）;jfu{aij}eTc（m+1,v2>山定义易证，下证v3>必要性：若maxacT={^,Xn}.H.minacT为离散拓扑，则山vl>,<2>可知；T为单拓扑，且对VaiGXn(l

6、k}eT(1町知maxacT={Xn},•口卫然有，Vaj(1可知，minacT为离散拓扑。综上所述，v3>成立。设Xn={aia2.--an)(n»2),从Xn中任意取出m(1

7、,令勾二{A

8、AuX“,AH0},宓2二{B

9、BuX；且BH0},®={Xn-A

10、Ae}®2={Xn-B

11、Be®2)则©中元素的个数为2m-l,0、XnGT<2>VA.BeT若A、B中有一个为0或X

12、n，则显然有ACBWT,AUBGT,若A、BW©，显然AuBe,ACBW©，从而AnBeT,AuBeT；若A.BeCB2，则mA'ux：,B‘ux；,A'、B°H0,使得A二A',B二X“-B',所以ACB=(Xn-A')C(Xn・B')=Xn-(A'UB')WCB；(因为A'UB'ux；,HA'UB*H0),AUB=(Xn-A')U(Xn-B')=Xn-(A'CB)，若A'CB'=0,则AuB=X„gT,若A’cb'H0,则a'nBe®2,AuBgg,总之AnBeT,AuBgT；若A,B分属©,(B2不妨设

13、Aw<3,,Be冬，则mBux；,BH0,使得B=Xn-B=X；5x：・B'),所以An(Xn-B*)=Ae<8,eT,AuB=AufXnu(x以及Xn为有限集可知T为Xn上的拓扑。v3>T为单拓扑，因为VAWT,AH0,AHXn则Aw勾或Aw(B；若Ae(3,则AuX“所以Xn-A=(X-A)Ux；