2、X上的关系R={(1,2),(2,3),(3,1),(2,1)}是从X到X的一个函数.()6.考虑整数集Z上的模5等价关系,则商集[9]=[134].()7.有理数集是可数集,无理数集的基数为ℵ.()8.设R⊂X×Y,则称R是从X到Y的一个____________.9.设X上的一个关系R.若△(X)⊂R,其涵义为____________,则称关系R是________________的;若R=R−1,其涵义为_______________,则称关系R是_____________的;若R◦R⊂R,其涵义为,则称关系R是_______________的.满足以上三个条件的
3、关系称为______________.关系.等价关系,商集,自然映射.可数集,ℵ0.1.设X上关系R是自反的.试证:R是等价关系当且仅当(a,b)∈R,(a,c)∈R⇒(b,c)∈R.2.设X,Y是集合,f:X→Y.试证:R={(x1,x2)∈X×X;f(x1)=f(x2)}是X上的等价关系,而且f˜:X/R→Y[x]→f(x)是良定义的(well-defined),且是单射.3.设A⊂B⊂C,且cardA=cardC.试证:cardA=cardB=cardC.(提示:利用Cantor-Bernstein定理.)4.设f:X→Y,A,B⊂Y.试证:f−1(A∪B)=
4、f−1(A)∪f−1(B).5.设f:X→Y,A⊂X,B⊂Y,试证:B∩f(A)=f(f−1(B)∩A).6.设f:X→Y,试证:f−1(f(A))⊃A;f−1(f(A))=A⇔f(A)∩f(XA)=∅.第2章拓扑空间与连续映射1.设X={0,1,2},下面不是X上的拓扑的集族是().A.{∅,{1},{1,2},X}B.{∅,{0},X}C.{∅,{0,1},{0,2},{2},X}D.{∅,{0},{1,2},X}2.设X是拓扑空间,A⊂B⊂X,下面不正确的命题是()A.d(A)⊂d(B)B.Ao⊂BoC.Ac⊂BcD.A−⊂B−3.设X是拓扑空间,下面不正确
5、的命题是()A.∅−=∅B.X−=XC.(A∩B)−=A−∩B−D.(A∪B)−=A−∪B−4.设X={a,b},T={∅,{a},X},则d({a})=(),{a}−=(),{a}o=().A.∅B.XC.{a}D.{b}5.设X={a,b,c,d},T={∅,{a},{b,c,d},X},则X的既开又闭的非空真子集的个数为().A.1B.2C.3D.46.设X={a,b,c,d},T={∅,{a},{b,c,d},X},点b的开邻域个数为().A.1B.2C.3D.47.设(X,T)是拓扑空间,A⊂X,则Ao是包含于A的()开集.A.最小B.最大C.既不是最大也
6、不是最小D.以上都不对8.设(X,T)是拓扑空间,A⊂X,则A−是包含A的()闭集.A.最小B.最大C.既不是最大也不是最小D.以上都不对9.设X是一个拓扑空间,A,B⊂X,则下列关系中错误的是()A.d(A∪B)=d(A)∪d(B)B.C.d(A∩B)=d(A)∩d(B)D.10.离散空间的任一子集是()A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭11.在实数空间R中,下列集合是开集的是()A.整数集ZB.有理数集QC.无理数集D.整数集的补集Zc12.设(X,ρ)是拓扑空间,x∈X,A⊂X,则ρ(x,A)=0⇔x∈(),ρ(x,Ac)=0⇔x∈(),ρ(x,A)=ρ
7、(x,Ac)=0⇔x∈(),ρ(x,Ac)>0⇔x∈().A.AoB.A−C.∂AD.Aoc13.拓扑空间中的开集一定不是闭集.()14.设T1,T2都是X上的拓扑,则T1∪T2也是X上的拓扑.()（花写T）15.在拓扑空间(X,T)中,若A⊂X,则d(A)是闭集.()16.在实数下限拓扑空间Rl中,[0,∞)是开集.()17.设B是拓扑空间(X,T)的一个基,B⊂B˜⊂T,则B˜也是该拓扑空间的一个基.()18.设S是拓扑空间(X,T)的一个子基,S⊂S˜⊂T,则S˜也是该拓扑空间的一个子基.()19.在拓扑空间(X,T)中,设x∈X,A⊂X,则x0∈d(A)
