资源描述:
《张祖锦点集拓扑作业讲解》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、张祖锦点集拓扑学作业讲解张祖锦点集拓扑学作业讲解作者张祖锦赣南师范学院数学与计算机科学学院2016年5月5日张祖锦点集拓扑学作业讲解Ⳃᔩ张祖锦点集拓扑学作业讲解ⳂᔩⳂᔩI11作Ϯ22作Ϯ33作Ϯ44作Ϯ55作Ϯ66作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解ⳂᔩⳂᔩII77作Ϯ88作Ϯ99作Ϯ1010作Ϯ1111作Ϯ1212作Ϯ1313作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解ⳂᔩⳂᔩIII1414作Ϯ1515作Ϯ1616作Ϯ1717作Ϯ1818作Ϯ1919作Ϯ2020作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解Ⳃ
2、ᔩⳂᔩIV2121作Ϯ2222作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解1作Ϯ11作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解1作Ϯ1.证明:(AB)∩(CD)=(A∩C)(B∪D).证明.c1.AB=A∩B:{{x∈Ax∈Acx∈AB⇔⇔⇔x∈A∩B.cx̸∈Bx∈B2.cccc(AB)∩(CD)=(A∩B)∩(C∩D)=A∩[B∩(C∩D)]cccc=A∩[(B∩C)∩D]=A∩[(C∩B)∩D]cccc=A∩[C∩(B∩D)]=(A∩C)∩(B∩D)=(A∩C)∩(B∪D)c=(A∩C∩(B∪D)c.张祖锦点集拓扑学作业讲解1作Ϯ2
3、.证明:(A1∪···∪An)(A1∩···∩An)=(A1A2)∪(A2A3)∪···(An−1An)∪(AnA1).证明.cc1.A⊂B⇔A⊃B(逆否命题等价).2.“⊃”:记An+1=A1,则AA=A∩Ac⊂A∪···∪A)∩(A∩···∩A)c=左端.ii+1ii+11n1n3.“⊂”:设x∈左端,则x∈A1∪···∪An,x̸∈A1∩···∩An.于是∃1≤i≤n,s.t.x∈A.不妨设x∈A1.令i1k=max{j;1≤j≤n,x∈A1,···,x∈Aj},则1≤k4、㠀ⱘx2Ai,߽⫼(Ai[An[A1[Ai 1)n(AiAnA1Ai 1)(AinAi+1)[(AnnA1)[(Ai 1nAi).张祖锦点集拓扑学作业讲解1作Ϯ3.设有集合A1,···,An,作k−1B1=A1,Bk=Ak∪j=1Aj(k>1).证明:B1,···,Bn互不相交,且∪kA=∪kB,k=1,2,···,n.j=1jj=1j证明.1.“B1,···,Bn互不相交”:对k5、⊂A∩Ac=∅.ki=1ikkkk2.用数学归纳法证明“∪j=1Aj=∪j=1Bj,k=1,2,···,n”:当k=1时,B1=A1;当k=2时,B1∪B2=A1∪(A2A1)=ccA1∪(A2∩A1)=(A1∪A2)∩(A1∪A1)=A1∪A2;假设当k=m时,结论成立,则当k=m+1时,∪m+1B=∪mB∪B=∪mA∪[A(∪mA)]=∪m+1A.i=1ii=1im+1i=1im+1i=1ii=1i张祖锦点集拓扑学作业讲解2作Ϯ22作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解2作Ϯ1.设X={a,b,c},Y={d,e,f,g},R={(a,
6、d),(a,e),(b,f)},−1A={a,c},B={d,e,g}.试求R(A),R(B),R的值域与定义域.解答.1.R(A)={y∈Y;∃x∈A,s.t.xRy},这就是说:R(A)就是R中第一个坐标在A中的元素的第二个坐标,R(A)={d,e}.−1−12.R(B)={x∈X;∃y∈B,s.t.xRy},这就是说:R(B)就是R−1中第二个坐标在B中的元素的第一个坐标,R(B)={a}.3.R的值域R(X)={d,e,f}.−14.R的定义域R(Y)={a,b}.张祖锦点集拓扑学作业讲解2作Ϯ2.设R⊂X×Y.试证:R(A∩B)=R
7、(A)∩R(B),∀A,B⊂X⇔R({x})∩R({y})=∅,∀x,y∈X,x̸=y.证明.1.“⇒”:取A={x},B={y},则R({x})∩R({y})=R({x}∩{y})=R(∅)=∅.2.“⇐”:显然有R(A∩B)⊂R(A)∩R(B).往证R(A∩B)=R(A)∩R(B)如下:{y∈R(A)⇒∃x1∈A,s.t.x1Ryy∈R(A)∩R(B)⇒y∈R(B)⇒∃x2∈B,s.t.x2Ry()用反证法.若x1̸=x2,则⇒x1=x2y∈R({x1})∩R({x2)},这与题设矛盾⇒y∈R(A∩B).张祖锦点集拓扑学作业讲解3作Ϯ3
8、3作Ϯ张祖锦点集拓扑学作业讲解3作Ϯ1.给定R上的如下关系{}R=(x,y)∈R2;x−y∈Z.试证:R是一个等价关