点集拓扑试卷一二.doc

《点集拓扑试卷一二.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、.判断题（10分）1．集合的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑。（）2．每一个度量空间都满足第一可数性公理。（）3．拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（）4．从拓扑空间到的恒同映射必是连续映射。（）5．设是拓扑空间的拓扑,则是积空间的拓扑。（）二、填空题（30分）1．设为是离散空间的子集，则。2．对于拓扑空间一个子空间，与满足。3．设为是拓扑空间的子集，则。4．任何一族连通空间的积空间是空间。5．称拓扑空间是可分空间，若。6．设是个拓扑空间的积空间，是的积拓扑，是空间的拓扑，则积拓扑的一个子基。7．称拓扑空间是

2、Lindelöff空间，若。8．设是实数空间，是有理数集，则,。三、设集合有拓扑，则是的一个拓扑。（10分）四、设为拓扑空间，映射在上连续的充要条件是有一个基满足是中开集。（10分）五、证明：离散度量空间的每个子集是开集。（10分）六、证明：每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。（10分）七、证明：若是拓扑空间的连通子集，则也是的连通子集。（10分）八、证明：满足第二可数公理的空间必定为可分空间。（10分）一.判断题（10分）1．离散度量空间的每个子集是开集.（）2．正规空间是正则的，但正规空间可以不是的.（）3．第

3、一可数性和第二可数性都是拓扑不变性.（）4．从紧致空间到空间的任何连续映射是同胚映射.（）5．设是拓扑空间的拓扑,则是积空间的拓扑。（）二填空（30分）1．设为是拓扑空间的子集，则的闭包是包含的闭集，的内部是包含于的开集.2．设是拓扑空间一个子空间，是空间的闭集族，则子空间的闭集族=。3．设集合的子集族是的某一个拓扑的基，则必须满足条件：（1），（2）。4．请写出两种具有遗传性的分离性质:;。5．任何一族连通空间的积空间是空间.6．设是个拓扑空间的积空间，是的积拓扑，是空间的拓扑，则积拓扑的一个子基。7．请补充下面几种紧致性的关系

4、：+可数紧致；可数紧致+；可数紧致+Lindelöff。8．请写出紧致性等价提法中的基的提法：即。三、证明：（1）每一个度量空间都满足第一可数公理.（2）包含着不可数多个点的可数补空间不满足第一可数公理.（10分）四、证明：连续映射保持可分性.（10分）五、设.验证是拓扑空间，并且是正则、正规但非的.（10分）六、证明拓扑空间中任意个闭紧致子集之交，仍为紧致子集.（10分）七、设拓扑空间是Hausdorff空间，是中无交的紧致子集，则分别有开领域，使得.（10分）八、（1）请叙述Tietze扩张定理的内容.（5分）（2）证明完全正

5、则空间是正则的.（10分）