数值分析课程设计(求解线性方程组)

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1、数值分析课程设计求解线性方程组作者姓名:学号:指导教师学院名称理学院专业名称信息与计算科学提交日期2012年6月一、问题的提出分别用SOR方法和高斯消元的LU分解算法（lii=1,i=1,…,n）求解给定的线性方程组AX=B,以感受迭代法和直接法的不同特点。二、实验内容1.自定义函数SOR(A,B,w,MAXN,TOL)，以实现SOR方法求解线性方程组AX=B，其中A——系数矩阵；B——常数列向量；w——松弛因子；MAXN——迭代的最大次数TOL——达到的精度上限返回值有以下四种可能：a)-2：SOR方法不收敛；（

2、不收敛的依据为的某个分量值超出区间[-108,108]。）b)-1：矩阵有一列全为0；c)0：算法经过MAXN次迭代还未收敛；d)k：SOR方法经k次迭代收敛，求得方程组的解向量X记录下来.2.自定义函数Direct(A,B)，以实现高斯LU分解的方法求解线性方程组AX=B，其中A——系数矩阵；B——常数列向量；返回值有两种可能：a)“LUdecompsitionfailed.”：分解过程中U的对角线元素至少一个为0；b)X：分解过程中3.分别使用步骤1中定义的函数SOR(A,B,w,MAXN,TOL)和步骤2中定

3、义的函数Direct(A,B)进行测试，记录返回值及X值（算法收敛或有效的情形,保留4位小数）:(1)测试1：MAXN=1000，TOL=10-9，w分别取1，1.05，1.1，1.2，1.3，1.6，1.95；(1)测试2：MAXN=1000，TOL=10-9，w=1；(2)测试3：MAXN=1000，TOL=10-9，w=1.2；(3)测试4：MAXN=1000，TOL=10-9，w=1，1.1，1.3，1.8；(4)测试5：:n阶Hilbert矩阵定义为取n=3,MAXN=1000，TOL=10-9，w=1,

4、1.3,1.6,1.9;测试6：A为4阶Hilbert矩阵，MAXN=10000，TOL=10-6，w=1,1.3,1.6,1.8,1.9.三、实验结果及分析（一）SOR方法1.SOR法分析：（1）利用高斯SOR法可得迭代公式:X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w/4(-X2(k)-X4(k))X2(k+1)=(1-w)X2(k)-w/4(-X1(k+1)-X3(k)-X5(k)-5)X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/4(-X2(k+1)-X6(k))X4(k+1)=(1-w)X4(k)-w/4(-X1

5、(k+1)-X5(k)-6)X5(k+1)=(1-w)X5(k)-w/4(-X2(k+1)-X4(k+1)-X(k+1)+2)X6(k+1)=(1-w)X6(k)-w/4(-X3(k)-X5(k)-6);将松弛系数w的不同德值代入计算出X的值。利用迭代使

6、X(k+1)-X(k)

7、

8、X1(k+1)+3X3(k))X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/3(3X1(k+1)+3X2(k+1))利用迭代使

9、X(k+1)-X(k)

10、

11、.2X5+1.6X6+3.3X7=95.5X1+3.5X2+0.5X3+8X4+3.2X5+1.6X6+0X7=6-0.5X1-1.5X2+3X3+2X4+0X5+X6-X7=5迭代公式为：X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w(2X3(k)+3X5(k)+4X7(k)-3)X2(k+1)=(1-w)X2(k)+w(3X1(k+1)+0.5X3(k)+8X4(k)+2.2X5(k)+1.6X6（k）+X7(k)-10)X3(k+1)=(1-w)X3(k)+w/0.5(3X1(k+1)+3X2(k+1)+12.5X

12、4(k)+5.4X5(k)+3.6X6(k)+X7(k)-10)X4(k+1)=(1-w)X4(k)+w/8(5X1(k+1)+2X2(k+1)+5.5X3(k+1)+2.2X5(k)+1.6X(k)+3.3X7(k)-12)X5(k+1)=(1-w)X5(k)+w/2.2(X1(k+1)-4X2(k+1)-1.5X3(k+1)+9X5(k+1)+1.6X6