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1、物理学报第51卷第7期2002年7月100023290Π2002Π51(07)Π1467208Vol.51,No.7,July,2002ν2002Chin.Phys.Soc.ACTAPHYSICASINICA扩展的纽结量子引力态邵常贵1)肖俊华1)亮2)丹2)陈贻汉1)潘贵军1)邵邵1)(湖北大学理论物理研究所,武汉430062)(DepartmentofPhysics,IbarakiUniversity,Mito310,Japan)(2000年6月19日收到;2001年8月13日收到修改稿)2)给出了微分同胚群的表示.
2、以扩展的Gauss不变量φG和Jones多项式第二个系数J2为基本片段,构造了满足22齐次微分同胚约束(D2约束)的扩展knot不变量引力态φG3J2,(3J2)和(3φG)3J2.得到了它们的具体表式,并通过具体计算,给出了它们满足齐次D2约束的证明.关键词:微分同胚约束,扩展knot不变量,量子引力态PACC:0460无限维多重切场Xμ(γ)的集合,在圈表象中,是同圈γ本身一一对应的:11引言γ∴X(γ):={X,Xμ(γ),Xμμ(γ),,112基于Ashtekar新变量[1,2]的正则非微扰量子引力理论的研究中,
3、寻找量子引力态是目前关键的问题之一.这种引力态要求满足所有的约束方程.特别地,首先要求在微分同胚群作用下的D2约束作用其上为零.而在量子引力的圈表象中,D2约束是通过考虑态空间中微分同胚(diffΣ)群的一个线性表示来定义的[3].在圈表象中,态函数是圈的泛函.而knot(纽结)不变量亦正好是diffΣ不变量的圈泛函.于是,可将knot不变量作为量子引力态的理想候选者[4,5].本文先讨论圈表象中的diffΣ群的表示,接着引入在其下不变的knot不变量.由于knot不变量作为非微扰量子引力态具有局限性,我们着重探讨扩展的
4、knot不变量.本文利用星乘积“3”[6],以扩展Xμ1μn(γ),},式中μi=(ai,xi),矢量分量指标ai=1,2,3.空间位置坐标xi∈Σ.考虑其基点o∈Σ被固定的γ,当Σ经受微分同胚xaϖxa=Da(x)时,有圈γϖγ=D(γ).此时可求得圈上的多重切场的变换式为aan9x119xn11axaxnn(Dγ)=X1i9xb9xbJ(x)J(xn)1n11n×Xbxbxnn(γ),(1)11式中J(x)为Jacobian变换式.引入矩阵ΛD,其分量μμμμΛD1n≡δn,mΛD1ΛDn,νννν1m1n19Da(
5、x)ay-1δ(x-D(y))且ΛDbx=bJ(x)[7,8]9x的Gauss不变量φG和Jones多项式第二个系数J2为基本片段,构造了三个扩展knot不变量引力态a()=9Dxδ(D(x)-y).(2)b9x22φG3J2,(3J2)和(3φG)3J2.求得它们的具体表式并用具体计算证明了它们满足微分同胚群下的齐次D2约束.将(2)式代入(1)式,得∞μ1μnXμμ(Dγ)=6ΛννX(γ).(3)1n1mDν1νm=1m[8]利用Einstein广义的求和约定,(3)式又可写为X(Dγ)=ΛDX(γ).21微分同胚
6、群的表示(4)由(4)式知,定义在两个微分同胚圈上的多重切场X(Dγ)和X(γ)是由与圈无关的线性变换ΛD联系起来的,而且由多重切场的多重矢量性质可以知道,ΛD是微分同胚群的一个无穷维线性表示.2111线性表示将Ashtekar引力的时空流形M做“3+1”分解,三维空间流形记为Σ.令γ<Σ为圈,则γ上一个协变矢量g=(gμ,gμμ,,)表示出来,即2121非平庸线性表示11ng(αY1+βY2)=αg(Y1)+βg(Y2).若g进一步具有性质g=g·δT,则该性质在diffΣ变换下不变,当g是协变不变量多重切场X包含了所
7、有与圈有关的信息,可考虑作为圈坐标,但它不是独立的量.用来构造knot态,它应满足下述代数约束和微分约束:-1(11)g=gL=gDp(μ,,μ)μμμμμμ6Xk1nkXμμ≡X1kk+1n=X1n,k+1时,物理量ψ(γ)=g(Y1(γ)××Yn(γ)),(12)在diffΣ变换下为pk(5),μk在所式中Pk为对连续k个(广义)指标μ1,ψ(γ)=g(Y1(γ)××Yn(γ)).有指标中做双重保持指标次序的所有置换,将(10)和(11)式代入(12)式,可得ψ(γ)=ψ(γ).这表明ψ(γ)是diffΣ不变量,换言
8、之,ψ(γ)是一个knot不变量.我们所知道的最简单的knot不变量是9μμμμμμ9μX1≡aX1inini9xiiδ(xixi-1)-δ(xixi+1)=--Gauss不变量φG(γ)=gG(Y1(γ)×Y2(γ))=gμμμ1μi-1μi+1μn×X,(6)12μμY1(γ)Y2(γ),若用γ上的多重切场表示,
