直线与圆的位置关系典例+讲解+习题+答案

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1、4.2.1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）　　已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0　　1．位置关系的判定：　　判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程　　(1)△>0相交；　　(2)△=0相切；　　(3)△<0相离。　　判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d　　(1)dr相离。　　例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。　　法一：直线L：m(x-y+2)

2、+x+y-1=0恒过点，　　∵点P在圆O内，　　∴直线L与圆O相交。　　法二：圆心O到直线L的距离为　　当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，　　∴14m2+4m+17>0　　第9页共9页　　∴m∈R　　所以直线L与直线O相交。　　　2．切线问题：　　例3：　　(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)　　法一：　　∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴　　当x0≠0且y0≠0时，　　∴切线方程为　　当P为(0，r)时，切线方程为y

3、=r，满足方程(1)；　　当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；　　当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；　　当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2　　法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知

4、OM

5、2=

6、OP

7、2+

8、PM

9、2，　　即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2　　∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。　　(2)已知圆O：x

10、2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。　　解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：　　设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0　　则圆心O到PT的距离为第9页共9页　　所以PT的方程为　　综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0　　例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：　　(1)；　　　　（2）B(4，5)　　解：　　(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，　　法一：设切线方程为，则圆心

11、到切线的距离为　　，　　∴所求切线方程为　　法二：　　∵AC⊥l，　　∴所求切线方程为　　(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条　　设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为　　　　又直线x=4也是圆的切线方程，　　∴所求切线方程为第9页共9页　　例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。　　法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，　　如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，　　直线PB的方程为ux-y+u+2=0，　　圆心到直线PB的距离为　　　　∴　　　例6、从

12、直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。　　解：　　∵　　∴当

13、OP

14、最小时，SPAOB最小，　　又∵当OP⊥L时

15、OP

16、最小，此时　　　　例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，　　又∵过点P(a，b)　　∴ax1+by1=r2第9页共9页，　　同理有ax2+by2=r2　　由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax

17、+by=r2，它是一条直线的方程，　　又∵过两点的直线有且仅有一条，　　∴直线AB的方程为ax+by=r2。　　　3、弦长问题　　例8、　　(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。　　解：圆心C(1，0)，kPC=-1，　　∵AB⊥PC，　　∴kAB=1，且AB过点P，　　∴直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3　　(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。　　解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2

18、）　　由，消去y得5x2+4bx+b2-4=0　　由韦达定理得，　　①　　　　②　　由①②消去b得，又因M在圆内，　　∴所求轨迹为直线在圆内的部分。　　(3)经过原点作圆x2+y2第9页共9页+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。　　法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一