高一数学对数与对数函数、幂函数知识精讲

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1、高一数学对数与对数函数、幂函数【本讲主要内容】对数与对数函数、幂函数对数定义及运算性质，对数函数的定义、图象和性质，幂函数的定义、图象和性质【知识掌握】【知识点精析】1.对数（1）对数的定义：如果，那么b叫做以a为底N的对数，记作。（2）指数式与对数式的关系：两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化。（3）对数运算性质：①②③④对数换底公式：2.对数函数（1）对数函数的定义函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。（2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。（3）对数函数的性质：用心爱心专心①

2、定义域：（0，+∞）②值域：R③过点（1，0），即当x=1时，y=0④当a>1时，在（0，+∞）上是增函数；当00，则幂函数图象过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数。③如果α<0，则幂函数图象在区间（0，+∞）上是减函数。在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴。当x趋向于+∞时，图象在y轴右方无限地逼近x轴。④当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函

3、数为偶函数。【解题方法指导】例1.求值：（1）。（2）。（3）。思路分析：利用对数的运算法则。解：（1）原式（2）原式（3）原式用心爱心专心误区警示：注意法则成立的条件。方法点拨：对数运算中常常会反用对数法则，以达到化简的目的。有时出现不同底的对数首先应化为同底的对数。例2.已知函数，则的值为（）A.B.C.D.剖析：例3.已知，求f(x)的值域及单调区间。解：∵真数，即f(x)的值域是。又，得时，单调递增，从而f(x)单调递减；时，f(x)单调递增。特别提示：讨论复合函数的单调性要注意定义域。【考点突破】【考点指要】本部分的考点为对数的运算和对数函数的性

4、质、指数函数与对数函数互为反函数，试题多为选择题，分值5～10分。考查的基本思想方法：分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想。【典型例题分析】例1.（2005全国高考卷III）若，则（）A.a

5、，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.思路点拨：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使有意义，即a>0且a≠1，。②使在［0，1］上是x的减函数。由于所给函数可分解为，其中在a>0时为减函数，所以必须a>1；③［0，1］必须是定义域的子集。解：∵a为对数函数的底数，。又∵f(x)在［0，1］上是x的减函数，，即。因此，选B。一通百通：本题综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确。本题的类型是已知函数对应法则和函数的某条性质，求未知参数的值或取值范围。也就是说题中的对

6、应法则和性质是可以改变的。例3.（1）（2006全国高考卷II）函数y=f(x)的图象与函数用心爱心专心的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（）A.B.C.D.答案：D（2）（2006全国高考卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则（）A.B.C.D.答案：D（3）（2006全国高考卷II）函数的反函数为（）A.B.C.D.答案：B（4）（2006山东高考）函数（0

7、函数的图象性质：a>0时，在第一象限幂函数都是单调递增函数，a<0时，在第一象限都是递减函数等性质，也可以利用特殊值法求解。解法一：（数形结合法）如图所示，作直线x=2，由于函数的图象与直线x=2的交点为（2，），可见指数a的大小与图象交点的高低是一致的，结合图象可得答案应该选B。解法二：（特殊值法）当x=2时，。因此，选B。一通百通：幂函数中的比较大小问题特别常见，主要是考查幂函数的概念和基本性质中的单调性，在解答这部分内容的考题时，数形结合是最佳的选择，如果是选择题则主要有两种思考方式：一种是直接肯定式的思考方式，另一种是间接否定式的思考方式。【达标测

8、试】1.（2005年春季北京，2）函数的图象是（）用心爱心专心2.