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1、分类号编号毕业论文题目微分中值定理及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名班级学号研究类型应用研究指导教师提交日期2013年5月18日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日微分中值定理及其应用（数学与统计学院，天水，）摘要本文探讨了微分中值定
2、理之间内在的联系、几何意义上的联系。通过经典实例，系统地给出了微分中值定理在证明不等式、求极限、证明某些不等式、讨论方程根的存在性、积分估值、级数收敛性等方面的广泛应用，有利于后续工作者的学习与参考。关键词中值定理；联系；应用DifferentialmeanvaluetheoremanditsapplicationLiJiqiang(Schoolofmathematicsandstatistics,TianshuiNormalUniversity,)AbstractThispaperdiscussestherelation
3、shipbetweenthedifferentialmeanvaluetheorem,thegeometricmeaningofintrinsicrelationon.Theclassicexample,systematicallypresentsthedifferentialmeanvaluetheoreminprovinginequality,limit,provesomeinequalities,discusstheexistingwidelyused,integralestimation,seriesconverg
4、enceequationroot,learningandreferenceforsubsequentworkers.KeywordsMeanvaluetheorem；connection；apply.目录0.引言11.预备知识22.微分中值定理的内在联系32.1三个中值定理之间的联系32.2几何意义上的相互联系43.微分中值定理的应用43.1利用几何意义解题63.2证明不等式和求极限73.3证明某些等式问题83.4讨论方程根的问题103.5积分估值113.6级数收敛性124.结语13参考文献14.数学与统计学院2013届毕
5、业论文微分中值定理及其应用0.引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中占有重要地位,是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具.它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,微分中值定理公式架起了沟通函数与导数之间的桥梁,函数的许多重要性质如单调性、极值点、凹凸性等均可由函数增量与自变量增量间的关系来表述.由于函数在一点的导数是局部性质,只反映函数在这点近旁的性质,而实际研究中又常常要用函数全局性质,于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质,这就要利用微分中值定理来达到这个目的.1.预备知识通常所说的
6、微分中值定理包括三个定理:罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。罗尔定理:如果函数满足以下条件：①在区间上连续；②在内可导；③；则至少存在一个，使得拉格朗日定理:若函数在区间满足以下条件：在上连续;在内可导;则在中至少存在一个，使得成立.柯西定理:设函数满足以下条件：在闭区间上连续；在区间内可导；与在内不同时为零，且，则存在，使得.本文将讨论微分中值定理的内在联系,并阐述它的若干应用,如利用微分中值定理的几何意义解题,讨论导函数零点的存在性、研究函数性态、证明不等式和求极限等.2.微分中值定理的内在联系我们知道,罗尔(Roll
7、e)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理统称为微分中值定理.它们之间有着密切的联系,拉格朗日中值定理是罗尔定理的广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.我们可以利用辅助函数法在罗尔定理基础上推导出另外两个定理,使它们更好地联系起来.9数学与统计学院2013届毕业论文2.1三个中值定理之间的联系定理:设在上连续，在上可导，则至少存在一点，使得=0.证明:作辅助函数,令=由行列式的性质即知.又显然在上连续,在内可导,根据求导法则及罗尔中值定理可知,使得:==0证毕.特别地:①若令就可得到罗
8、尔定理的结论②若令可以得到拉格朗日中值定理=③若令则有=0，从而可得柯西定理这样三个中值定理就很好地联系在一起,它特别用到辅助函数法,恰到好处地处理了三者的关系:罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.9数学与统计学院2013届毕业论文2.2几何意义上的相互联系再从几何意
