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1、分类号编号毕业论文题目微分中值定理及其应用学院数学与统计学院姓名史秀峰专业数学与应用数学学号研究类型理论综述指导教师刘开生提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：微分中值定理及其应用史秀峰(天水师范学院数学与统计学院甘肃天水)摘要：微分中
2、值定理是微分学的基础定理,它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁，在高等数学中占有核心位置.本文总结和归纳了微分中值定理在数学分析中的应用.关键字：微分中值定理；应用DifferentialmeanvaluetheoremanditsapplicationShiXiufeng(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui,Gansu,)Abstract:Differentialmeanvaluetheoremisthediffe
3、rentialofthefundamentaltheoremofalgebra,highermathematicsispartofthecorecontent.Mathematicalanalysisapplication.Keywords:applicationofdifferentialmeanvaluetheorem目录1.引言12.微分中值定理12.1微分中值定理的内在联系12.2微分中值定理在证明中辅助函数的构造方法22.2.1几何法22.2.2倒推法33.微分中值定理的应用43.1讨论导函数零点的存
4、在性及个数估计43.2函数性态的研究53.3不等式的证明63.4证明恒等式及等式73.5求极限73.6求近似值83.7讨论级数的敛散性94.结语9参考文献10微分中值定理及其应用1.引言我们知道，微分学是数学分析中的重要组成部分,而微分中值定理作为微分学的核心,是沟通导数和函数值之间的桥梁,是研究函数在某个区间的整体性质的有力且工具.它包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.本文论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等7个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解.2.微分中值定理2.1
5、微分中值定理的内在联系我们知道,罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理.它们之间有着密切的联系,拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,它们之间的具体关系我们可以用下面的例题来将它们联系起来.例1设f（x）,g（x）,（x）在内可导,试证存在使得=0证记=则在上连续,在内可导,,应用罗尔定理可知,使得,据行列式性质证毕,特别地①若令就可得罗尔定理的结论：=0；②若令，可以得到拉格朗日中值定理10③若令，则有，从而可得柯西定理：通过上面的例题,我们很好地利用了辅
6、助函数的构造法,引出了三个中值定理之间的关系:罗尔定理是微分中值定理的基础,而拉格朗日中值定理则是微分中值定理的核心.拉格朗日中值定理添加条件,则变成为罗尔定理.反之,如果罗尔定理中放弃条件,则推广为拉格朗日定理;同样,若令,则柯西中值定理就变成为是拉格朗日中值定理.从而柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理在表达形式上的推广.2.2微分中值定理在证明中辅助函数的构造方法在上面的例题中,我们构造了一个新的函数来说明中值定理之间的联系.实际上,构造性方法是高等数学中的一个重要的分析技巧,而证明微分中值定理的关键是辅助
7、函数的构造,这对我们学生来说并非易事.其中罗尔定理的证明比较直观,学生易于接受,其中拉格朗日中值定理与柯西中值定理的证明关键是如何根据已知条件构造出一个新的函数以降低证明的难度.下面我主要从两种方法来介绍辅助函数的构造.2.2.1几何法在拉格朗日中值定理的证明中构造函数通常做法是根据几何背景,即由于通过弦两个端点的直线为则函数与直线的方程之差即函数①在两个端点处的函数值为零，从而必满足罗尔定理的条件，故①即为要作的辅助函数2.2.2倒推法所谓的倒推法就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系逆向导出已知条件和结论.⑴在
8、拉格朗日中值定理的证明中，要使成立,10即=成立，只要成立，于是可取②易证在在上满足罗尔定理的三个条件.故②式即为要构造的辅助函数，⑵柯西中值定理的结论是至少存在一点,使得即证明上式等价于若令则在上连续，在内可导，且有由罗尔定理，存在，使，返回到即完成定理的证明.故为所做辅助函数3.微分中值定理的应用3.1讨论导函数零点的存在性及个数估计利用微分学讨论导函数零点的存在性，最基本的依据是
