微分中值定理及其应用-毕业论文

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1、LUOYANGNORMALUNIVERSITY2015届本科毕业论文微分中值定理及其应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名学号110414079指导教师完成时间2015.5微分中值定理及其应用摘要：微分中定理是微分学的基础定理，它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁，在高等数学间占有核心位置.本文总结和归纳了微分中值定理在数学分析中的应用.关键词：微分中值定理；应用0、引言微分中值定理是一元函数微分学的理论基础，也是一元函数微分学通往应用的桥梁，其应用非常广泛，函数在一点的导数，只反映函数在这点近旁的性质，所以导数是局部性质，但是研究工作中又常常要

2、用函数全局性质.于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质，这就要利用微分中值定理来达到这个目的，它是沟通函数与导数之间的桥梁，应用微分中值定理的基本方法是广泛使用辅助函数.1、几个常见微分中值定理定理（罗尔（Rolle)中值定理）若函数满足如下条件：(i)在闭区间上连续；（ii)在开区间上可导；（iii)；则在上至少存在一点，使得.罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，则至少存在一条水平切线.证因为在上连续，所以有最大值和最小值，分别用和表示，现在分两种情况来讨论：(1)若,则在上必为常数，从而结论显然成立

3、.(2)若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在上的某点处取得，从而是的极值点.由条件（ii)，在点处可导，故由费马定理推知16.注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.定理(拉格朗日（Lagrange)中值定理）若函数满足如下条件：（i)在闭区间上连续；（ii)在开区间上可导；则在上至少存在一点，使得=.显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔定理的结论.这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.拉格朗日中值定理的几何意义是说：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.我们在证明时引入的辅助函数，正是曲线与直线A

4、B（）之差.证（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在使得成立，即证，存在使得，（1）成立，亦即（2）记，.则由满足罗尔定理的条件知，存在使得（2）成立，进而（1）成立，从而拉格朗日中值定理成立.16注定理的结论称为拉格朗日公式.推论1若函数在区间上可导，且，，则为上的一个常量函数.推论2若函数和均在区间上可导，且，，则在区间上与只相差某一常数，即（为某一常数）.推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域上连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且.注导数极限定理适合于用来求分段函数.定理（柯西中值定理）设函数和满足如下条件：（i)在上都连续；（ii)在上都可导；

5、（iii)和不同时为零；（iv)，则存在，使得.（1）柯西中值定理的几何意义是说：把、这两个函数写作以为参量的参量方程在平面上表示一段曲线.由于（1）式右边的表示连接该曲线的弦AB的斜率，而（1）式左边的16则表示该曲线上与相对应的一点处的切线的斜率.因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行.证首先构造辅助函数.由于，故可知恒大于零或者恒小于零。否则，由费马定理可知，必存在使得.我们不妨设恒大于零.于是，对于任意，其中，.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得在闭区间上连续，在开区间内可导，且故即是要证明，因此可构造辅助函数：，可以验证满足罗尔定理的条件

6、，故至少存在一个，使得成立.再由知，至少存在使得16成立，故柯西中值定理得证.定理1.4(泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在上存在阶导函数，则对任意给定的,,至少存在一点，使得证作辅助函数，，所要证明的即为或不妨设，则与在上连续，在上可导，且，.又因为，所以由柯西中值定理证得，其中，该定理的结论被称为泰勒公式.因为它的余项为，（),称为拉格朗日型余项，所以它又被称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.16注时，即为拉格朗日中值公式.所以，泰勒定理可以看成拉格朗日中值定理的推广.下面是几种常见函数带有拉格朗日型余项的泰勒公式（1），由，得到，,.（2）,由，得

7、到，,.（3）类似于，可得，，.（4），由，得到，,（5）,由，得到，,.（6）,由，得到,.2、关于罗尔中值定理的应用例2.1设为上可导函数，证明：若方程没有实根，则方程16至多只有一个实根.证这可反证如下：倘若有两个实根与（设），则函数在上满足罗尔定理三个条件，从而存在，使，这与的假设相矛盾，命题得证.例2.2试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使得；(1)；（2）.解（1）在上连续，又因为，所以在右连续.故在上连续.又，，故在内可导，且.根据罗尔中值定理，存在一点，使.(2)，，所以在不可导，则在上不满足罗尔中值定理的条件.当时，，所以；当时，，所以.故

8、函数在区间