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1、安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用作者 系（院） 数学与统计学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2009级 学 号 090802001 指导教师 论文成绩 日 期 2013年5月12日诚信承诺书郑重承诺：所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与作者一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表
2、示了谢意。作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 院长签名： 日期： 论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。保密论文在解密后遵守此规定。作者签名： 导师签名： 日期：微分中值定理及其应用摘要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核
3、心.本文主要介绍微分中值定理在等式的证明、不等式的证明、方程根的存在性以及求近似值等中的应用.关键词：等式证明;不等式证明;方程根存在性;近似值1引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中有重要的地位,在微积分教学与研究中具有承前启后的作用,是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具.本文是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用.2预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.1（最大、最小值定理）若函数在闭
4、区间上连续,则在上有最大值与最小值.定理2.2（费马定理）设函数在点的某领域内有定义,且在点可导.若点为的极值点,则必有.定理2.3(有界性定理)若函数在闭区间上连续,则在上有界.即$常数,使得"Î有.定理2.4（介值性定理）设函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任意实数(或),则至少存在一点,使得.定理2.5（根的存在定理）若函数在闭区间上连续,且与异号（即）.则至少存在一点使,即方程在开区间内至少有一个根.定理2.6（一致连续性定理）若函数在闭区间上连续,则在闭区间上一致连续.3微分中值定理的定义定理3.1（罗尔()中值定
5、理）若函数满足如下条件：(i)在闭区间上连续；(ii)在开区间内可导；(iii),则在内至少存在一点,使得.定理3.2（拉格朗日()中值定理）若函数满足如下条件：第17页(i)在闭区间上连续；(ii)在开区间内可导，则在内至少存在一点,使得定理3.3（柯西()中值定理）设函数和满足(i)在闭区间上都连续；(ii)在开区间内都可导；(iii)和不同时为零；（iv），则存在,使得4微分中值定理的证明4.1罗尔中值定理的证明根据条件在闭区间上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上能取到最小值和
6、最大值,即在闭区间上存在两点和,使.且对任意,有.下面分两种情况讨论:（1）如果,则在上是常数,所以对,有.即内任意一点都可以作为,使.（2）如果,由条件,在上两个端点与的函数值与,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间内必定至少存在一点,函数在点取最大值或最小值,所以在点第17页必取局部极值,由费马定理,有.4.2拉格朗日中值定理证明证法一：构造函数法构造辅助函数,其中.根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道在闭区间上是连续的，在开区间内是可导的，并且还有,所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数在内至少存在一点,使得
7、,即.证法二：行列式法构造辅助函数,则由此可得在闭区间上连续.由此可得在开区间内也可导.第17页又由,.可得.综上所述,可知满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点.使得,故.4.3柯西中值定理的证明证法一：构造函数法构造辅助函数,其中.根据提舍得已知条件和连续函数的性质，我们可以知道函数在闭区间上是连续的，在开区间内是可导的，而且还有,所以我们根据定理就可以知道在内一定存在一点,可以使得.即,故证得.证法二：行列式法构造辅助函数.第17页则.由此可得在闭区间上连续..由此可得在开区间内可导.由,.即.综上所述:满足罗尔定理的条件,
8、则至少存在一点,使得.故.第17页5微分中值定理的几何解释5.1罗尔中值定理的几何解释yABPB在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线（图5-1）.yAy=f(x)y=F(x)+f(a)y=xab-af(b
