上海市普陀区高三第一学期期末数学抽查

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1、上海市普陀区高三第一学期期末数学抽查一、填空题：1、函数的最小正周期是。2、不等式的解集是。3、边长分别为的三角形的最大角的大小是。4、若函数，则方程的解是。5、若复数是纯虚数，则。6、过点且与直线平行的直线的一般式方程是。7、已知，则（用含的代数式表示结果）。8、已知无穷等比数列的第二项，各项和，则该数列的公比。9、设，则。10、在圆上与直线距离最小的点的坐标是。11、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆

2、料”：媒体A：“……,凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了1元。”媒体B：“……,凯尔特人俱乐部出价从1元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件。”媒体C：“……,凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了1元。”请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。12、如图，已知和都是正方形，且，，若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体构成集合M，则从集合M中任取两个向量恰为平行向量的概率是（用分数表

3、示结果）。二、选择题：13、设都是实数，则“”是“”的条件（A）A，充分非必要；B，必要非充分；C，充要；D，既非充分又非必要。14、已知等比数列中，，且，则（B）A，；B，；C，；D，。15、定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（D）A，；B，；C，；D，。16、若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（C）A，；B，；C，；D，。三、解答题：17、已知：向量，求：。解法一：由，又由条件得，∴，∴。解法二：∵，∴。18、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐

4、标为，直线与抛物线交于点、，求向量和夹角的大小。解：，由抛物线的对称性，不妨设，则直线的方程为，把它代入，得，则，设向量和夹角为，则，由对称性，当时，结论相同。∴向量和夹角的大小为。19、求证：不存在虚数同时满足：①；②（为实数且）。解：假设存在虚数同时满足两个条件，即与假设矛盾，∴不存在虚数同时满足①②两个条件。口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章。报道中引用了以下来自俄政府公布的数据：●截至6月底，俄罗斯人口为亿，人口密度每平方公里只有人；●一年俄人口就减少

5、了万，1月至5月共又减少了万；●据俄联邦安全会议预测，到，俄将只有约亿人口，比目前锐减。试根据以上数据信息回答下列问题：（1）以至5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？（保留三位小数）（2）按第（1）小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人？解：（1）由给出的信息可知，17个月里平均每月人口减少万人，6月底至6月底共经过个月，若每月人口减少数相同，则到6月底俄罗斯的人口数约为万，即约为亿。（2）设从6月底起，经个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人，于是有，

6、∴至少要经过个月，即年零个月，也就是到7月底，俄罗斯的人口密度将低于每平方公里人。21、设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1），。（2）∵，∴函数的定义域为，令，则，，∴，∵时，，又时，递减，∴单调递增，∴，即函数的值域为。（3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则，∵，则，要满足值域为，则要满足，由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，∴

7、，又在上是增函数，在上是减函数，∴，综上，得。22、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数。解：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴，当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。综上，得，，∴，∴（2）要使，可构造数列，∵对任

8、意的正整数都有，∴当时，恒成立，即恒成立，即，又，∴，∴，等等。（3）解法一：由题设，∵时，，∴时，数列递增，∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；又