江苏省高三数学中档题冲刺训练10

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1、中档题冲刺训练题10学号姓名1．(本小题满分12分)如图14-2，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，D是BC上一点，AD⊥C1D．(1)求证：截面ADC1⊥侧面BCC1B1(2)求二面角C—AC1—D的大小及正弦值．(3)求直线A1B与截面ADC1的距离．解：(1)∵CC1⊥底面ABC，DC是C1D在其内的射影．又∵AD⊥C1D，AD底面ABC，∴AD⊥BC，∵C1D侧面BCC1，BC侧面BCC1，且C1D∩BC=D，∴AD⊥侧面BCC1，又AD截面ADC1，故截面ADC1⊥侧面BCC1B．(2

2、)作CF⊥C1D于F，F为垂足，∵截面ADC1⊥侧面BCC1，∴CF⊥截面ADC1，连A1C交AC1于E，∵ACC1A1，是正方形，∴CE⊥AC1，连EF，依三垂线定理逆定理有AC1⊥EF，故∠CEF为二面角C—AC1—D的平面角．(3)在△A1CB中，∵E为AC1的中点，D为BC的中心，∴A1B∥ED∴A1B∥面ADC1，故A1B上任一点到截面ADC1的距离d，即为所求，2．如右图是在竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，若

3、竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，依次类推，现有一颗小弹子从第1层的通道里向下运动。求：（I）该小弹子落入第4层第2个竖直通道的概率（从左向右数）；（II）猜想落入第n+1层的第m个通道里的概率。（III）该小弹子落入第层第个竖直通道的路径数与该小弹子落入第层第个竖直通道的路径数之和等于什么？[假设在交点处小弹子向左或向右是等可能的]．解：（I）∵在交点处小弹子向左或向右是等可能的，∴小弹子落入第4层第1个竖直通道的路径只有1条，落入第4层第2个竖直通道的路径有3条，第3个有3条，第4个有1条

4、，∴所求概率P==.……………4分（II）利用杨辉三角的特点可猜想，所求的概率P==.……………8分（III），即该小弹子落入第层第个竖直通道的路径数与该小弹子落入第层第个竖直通道的路径数之和等于该小弹子落入第层第个竖直通道的路径数.……………12分3．设数列的前项和为,数列的前项和为,已知,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在一个最小正整数,当时,恒成立?若存在,求出这个的值;若不存在,请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy内，Z（x,y),O为坐标原点，

5、OZ

6、=r,绕原点旋转至时的旋转角为θⅠ

7、，将的坐标用r、θ表示Ⅱ，若Z1(x1,y1),将绕O旋转α角变为，求Z2的坐标Ⅲ，将双曲线xy=1绕点O点旋转多大的最小的正角可以变为焦点在x轴上的标准双曲线方程？并求出此标准方程。解：Ⅰ，=(rcosθ,rsinθ）（2分）Ⅱ，设

8、OZ1

9、=r,旋转角为θ1，Z2(x2,y2),则有（x1,y1)=(rcosθ1,rsinθ1)∴∴Z2(x1cosα-y1sinα,y1cosα+xsinα)（4分）Ⅲ，[方法一]设（x1,y1)是xy=1上任意一点，(x,y)是（x1,y1)绕原点旋转α角后得到的一

10、点，则（x,y)=(x1cosα-y1sinα,y1cosα+xsinα)(6分）∴（x1,y1)=(xcosα+ysinα,ycosα-xsinα)（8分）因为（x1,y1)在xy=1上，∴（xcosα+ysinα）（ycosα-xsinα）=1即xycos2α+(y2-x2)sin2α=1(10分）要使焦点在x轴上，必有cos2α=0,sin2α<0最小正角α=3π/4（12分）所以旋转的最小正角为3π/4时，焦点在x轴上，此时曲线的方程为x2-y2=2(14分）[方法二]设（x1,y1)是xy=1

11、上任意一点，(x,y)是（x1,y1)绕原点旋转α角后得到的一点，则（x,y)绕原点旋转-α角后得到（x1,y1)点（6分）（x1,y1)=(xcos（-α）-ysin（-α）,ycos（-α）+xsin（-α)）=(xcosα+ysinα,ycosα-xsinα)（8分）……以下同解法一