高一数学导数及其运用练习题4

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn导数单元检测23．已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．24．设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．25．设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．26.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．27．设二次函数，方程的两根和满足．（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小．并说明理由．28．如图4，某地为了开发

2、旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．ＯAEDBHP答案解析23.解:若,,显然在上没有零点,所以令得当时,恰

3、有一个零点在上;当即时,也恰有一个零点在上;当在上有两个零点时,则或解得或因此的取值范围是或;24.解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．25.解：的定义域为．（Ⅰ）．

4、当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．26.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．27.本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．解法1：（Ⅰ）令，则由题意可得

5、．故所求实数的取值范围是．（II），令．当时，单调增加，当时，，即．解法2：（I）同解法1．（II），由（I）知，．又于是，即，故．解法3：（I）方程，由韦达定理得，，于是．故所求实数的取值范围是．（II）依题意可设，则由，得，故．28.解：（I）如图，，，，由三垂线定理逆定理知，，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，．设，．则．记总造价为万元，据题设有当，即时，总造价最小．（II）设，，总造价为万元，根据题设有．则，由，得．当时，，在内是减函数；当时，，在内是增函数．故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．（III）解法一：不存在这样的点，．事实上，在上任取不

6、同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得．当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！