高中数学解题思想方法（分类讨论思想方法）

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1、九、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论。Ⅰ、再现性题组：1.集

2、合A＝{x

3、

4、x

5、≤4,x∈R}，B＝{x

6、

7、x－3

8、≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.00且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。A.p＝qB.pqD.当a>1时，p>q；当0

9、2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,+∞)D.[-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。A.B.C.D.或7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。A.3x－2y＝0B.x＋y－5＝0C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0D.不能确定Ⅱ、示范性题组：例1.设00且a≠1，比较

10、log(1－x)

11、与

12、log(1＋x)

13、的大小。【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。【解】∵0

14、＋x>1①当0

15、log(1－x)

16、－

17、log(1＋x)

18、＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;②当a>1时，

19、log(1－x)

20、－

21、log(1＋x)

22、＝…由①、②可知，…例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①.CA∪B且C中含有3个元素；②.C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】C·C＋

23、C·C＋C·C＝1084【另解】（排除法）：【注】本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。例3.设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。①.证明：0，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理)【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。【解】设公比q，则a>0，q>0①．…②.要使＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c),分两种情况讨论如

24、下：当q＝1时，S＝na，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][－c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]∵aq≠0∴a－c(1－q)＝0即c＝而S－c＝S－＝－<0∴对数式无意义由上综述，不存在常数c>0,使得＝lg（S－c）成立。【注】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明>logS。例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是

25、分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类。（概念、性质型）例4.设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。14x14x【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法）【解】当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－∴或或∴a≥1或；当a<0时，，解得φ；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意由上而得，实数a的取值范

26、围是a>。例5.解不等式>0(a为常数，a≠－)【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－0时，a〉－；－4a<6a时，a>0。所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；当a＝0时，x>0，解得：x≠0；当－0，解得:x<6a或