高中数学解题思想方法(分类讨论思想方法)

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1、九、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时,有时会有多种情况,对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。分类原则:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复、分层次,不越级讨论。分类方法:明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。Ⅰ、再现性题组:1.集

2、合A={x

3、

4、x

5、≤4,x∈R},B={x

6、

7、x-3

8、≤a,x∈R},若AB,那么a的范围是_____。A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.00且a≠1,p=log(a+a+1),q=log(a+a+1),则p、q的大小关系是_____。A.p=qB.pqD.当a>1时,p>q;当0

9、2,+∞)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,+∞)D.[-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,则它的体积为_____。A.B.C.D.或7.过点P(2,3),且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。A.3x-2y=0B.x+y-5=0C.3x-2y=0或x+y-5=0D.不能确定Ⅱ、示范性题组:例1.设00且a≠1,比较

10、log(1-x)

11、与

12、log(1+x)

13、的大小。【分析】对数函数的性质与底数a有关,而分两类讨论。【解】∵0

14、+x>1①当0

15、log(1-x)

16、-

17、log(1+x)

18、=log(1-x)-[-log(1+x)]=log(1-x)>0;②当a>1时,

19、log(1-x)

20、-

21、log(1+x)

22、=…由①、②可知,…例2.已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①.CA∪B且C中含有3个元素;②.C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念,C中的元素分两类:①属于A元素;②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】C·C+

23、C·C+C·C=1084【另解】(排除法):【注】本题是“包含与排除”的基本问题,正确地解题的前提是正确分类,达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。例3.设{a}是由正数组成的等比数列,S是前n项和。①.证明:0,使得=lg(S-c)成立?并证明结论。(95年全国理)【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。【解】设公比q,则a>0,q>0①.…②.要使=lg(S-c)成立,则必有(S-c)(S-c)=(S-c),分两种情况讨论如

24、下:当q=1时,S=na,则(S-c)(S-c)-(S-c)=(na-c)[(n+2)a-c]-[(n+1)a-c]=-a<0当q≠1时,S=,则(S-c)(S-c)-(S-c)=[-c][-c]-[-c]=-aq[a-c(1-q)]∵aq≠0∴a-c(1-q)=0即c=而S-c=S-=-<0∴对数式无意义由上综述,不存在常数c>0,使得=lg(S-c)成立。【注】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:证明>logS。例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是

25、分类讨论的问题或者分类给出的,我们解决时按要求进行分类。(概念、性质型)例4.设函数f(x)=ax-2x+2,对于满足10,求实数a的取值范围。14x14x【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题,先对开口方向讨论,再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。(也属数形结合法)【解】当a>0时,f(x)=a(x-)+2-∴或或∴a≥1或;当a<0时,,解得φ;当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意由上而得,实数a的取值范

26、围是a>。例5.解不等式>0(a为常数,a≠-)【分析】含参不等式,参数a决定了2a+1的符号和两根-4a、6a的大小,故对a>0、a=0、-0时,a〉-;-4a<6a时,a>0。所以分以下四种情况讨论:当a>0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得:x<-4a或x>6a;当a=0时,x>0,解得:x≠0;当-0,解得:x<6a或

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