高考数学复习点拨 共面的两个结论及应用

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时间:2018-05-03

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1、共面的两个结论及应用  判断空间四点是否共面我们有两个结论:设三点不共线,则(1)四点共面的充要条件是:存在有序实数对,使;(2)四点共面的充要条件是:对空间任意一点,都有,且;这是两个非常有用的结论,下面我们看看它们的应用:  例1 已知四点共面,求证:对空间一点存在不全为零的实数,使.  解析:由四点共面,得共面,由结论(1)知存在实数使,此时,令,,,即得.评注:此题从共面出发,利用结论(1)再结合向量的加、减运算使问题获解.例2如图1,在平行六面体中,已知分别是上的点,且,,,求平面分对角线所得线段与的比.  解析:设,由,  得.  共面,.  从而得,即.  评注:解题中巧妙地

2、应用了空间两向量共线的充要条件“”及结论(2),使问题恰到好处的获得解决.例2如图2,矩形所在平面外一点,连.(1)四个三角形的重心是否共面?(2)若四点共面,请指出此面与面的关系;否则,请指出此空间四边形中直角的个数.  解析:(1)连并延长分别交于;则分别为边的中点;因此四边形是平行四边形,且.  又,  而,得.  显然,四点共面.(3)由(1)知,从而面,即面.又,从而面即面.由于,故面面.评注:本题结合向量的加、减运算,将所求解的问题转化为结论(1),从而产生结论;第二小问我们用线面平行的判定定理得到线面平行.

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