高考数学复习点拨 导数应用中的两个误区.doc

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1、导数应用中的两个误区导数的应用在高考中的位置越来越重要，每一套高考试题都有一个解答题。导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用，但有两个地方学生容易发生知识性的错误，下面归纳如下：一.求曲线的切线的方程例1.已知曲线y=⑴求曲线在点P(1，1)的切线方程⑵求曲线过点Q（1，0）的切线方程⑶求满足斜率为-的曲线的切线方程解：⑴=-，又P（1，1）在曲线上P为切点，所求切线方程的斜率是k=-1，曲线在点P(1，1)的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2⑵显然Q（1，0）不在曲线上，则设过该点的切线的切点为

2、A（a,）,该切线的斜率是k=-则切线方程是y-=-(x-a)①将点Q（1，0）代入方程①得：0-=-(1-a)解得a=,故切线方程为y=-4x+4⑶设切点为B（b,）则切线的斜率为k=-=-,解得a=,B（,）或(-,-),所以所求的切线方程是y-=-(x-)或y+=-(x+)即x+3y-2=0或x+3y+2=0总结：求切线方程时应该注意①判断已知点是否在曲线上，这一点容易忽略。点不在曲线上，而按在曲线上求，就会背道而驰。②无论点是否在曲线上方法是一样的，先求函数的导数由切点（或设切点）求切线斜率，然后写出点斜式方程。二．求函数的单调区间用心爱心专

3、心例2.已知函数=-ax-1。(1).若a＞0，求函数的单调递减区间；(2).若函数在R上单调递增，求实数a取值范围；(3).是否存在实数a，使在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在说明理由。解：⑴.由已知=3-a,令＜0，则3（）（）＜0,解不等式，可得∴函数的单调递减区间是⑵.∵在上是单调增函数，∴=3-a≧0在上恒成立。即a≦3对x∈R恒成立.∵3≧0,∴只需a≦0,又a=0时，=3≧0，=-1在R上单调递增，∴a≦0⑶.由=3-a≦0在（-1，1）上恒成立,得：a≧3，x∈（-1，1）恒成立∵-1

4、需a≧3当a=3时=3（-1）在x∈（-1，1）上，<0,即在x∈（-1，1）上为减函数，∴a≧3.故存在实数a≧3，使在（-1，1）上单调递减.用心爱心专心总结：⑴方法对比：求函数在定义域内的单调递增区间，只需>0；求单调递减区间时，只需﹤0。若函数在某个区间单调递增，则≧0；在某区间上单调递减，则≦0.⑵对比分析:＞0，（或＜0）是函数在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，而在区间上为增函数（或减函数）的充要条件是≥0（或≤0）。因为在上不排除有一个或几个点=0，端点处的导数也可能是0，当然不能恒等0，即f(x)是常数函数，因此，在知道函数

5、是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应该取≥0（≦0）。然后再转化成恒成立问题解决，检验解出的参数是否=0恒成立，若恒成立，舍去。例1.若=在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，试求实数a的取值范围。分析：这样的问题，学生容易得到的错误。原因是混淆了题目类型，若该题改为：若=在区间（1，4）内为减函数，在区间（4，+∞）为增函数，试求实数a的取值范围。则。暴露出的问题是函数极值的概念理解得不透彻，掌握了问题的“形式”，没有把握问题的“内容”。解：函数的导数=。令=0，解得x=1或x=a-1，当a-1≤1，即a≤2时，函数在（1，

6、+∞）上为增函数，不符合题意，舍去。当a-1＞1，即a＞2时，函数在（-∞，1]上为增函数，在（1，a-1）内为减函数，在（a-1，+∞）上为增函数。根据题意可知，4≤a-1≤6，解得5≤a≤7所以a的取值范围是[5,7].用心爱心专心避免以上错误，学习导数的应用可以少走一点弯路。用心爱心专心